[工數] 展Maclaurin's, Laurent's級數

[jack750822 (只有一個傑克)]

用工數當分類是因為用在工數..

微積分很久沒碰了 不知道在微積分的展法是不是一樣

不過應該不是重點就是了...


今天在展級數的時候熊熊卡住 請為我解惑謝謝~~

在念複變的時候遇到的問題 所以變數用z



一般級數都是背展開點z=0 若是需要對其他點z=a展開的話就令u=z-a

然後對u=0展開就是對z=a展開 最後在代回u+a=z對吧?



然後..

      ∞
e^z = Σ (z^n)/n!  對z=0展 (1式)
      n=0

          ∞                ∞
e^(1/z) = Σ [(1/z)^n]/n! = Σ 1/(n!z^n) 對z=0展  (2式)
          n=0               n=0

這也沒錯對吧?


然後1式對z=1展 就令u=z-1代入展開

                 ∞             ∞
e^(u+1) = ee^u = Σ e(u^n)/n! = Σ e[(z-1)^n]/n!  對z=1展  (3式)
                 n=0            n=0

那2式要怎麼對z=1來展? 我是這樣:

令u=z-1代入

              ∞                    ∞
e^[1/(u+1)] = Σ {[1/(u+1)]^n}/n! = Σ 1/[n!z^n] 跟2式長得一樣...:s
              n=0                   n=0


然後發現3式如果沒有先提出一個e也會出現類似的問題@@

是哪邊做錯了呢??

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◆ From: 111.240.149.87
推 ntust661    :e^1/z 對 z = 1 展開不會得到負冪次...
→ Vulpix      :應該把[1/(u+1)]^n展開成1-nu+...
→ Vulpix      :至於是哪邊做錯... 因為沒有照題目說的在z=1展開...
→ jack750822  :那要怎麼展才會對呢? 我只知道展錯了...
→ Vulpix      :因為你就是要寫成 u^n 這種東西的和
→ Vulpix      :你的等式都是「對的」，錯的是沒有回答到題目
→ Vulpix      :就像作文題目說：「論勤」。結果寫一篇洋洋灑灑、文
→ Vulpix      :辭並茂的「退一步，海闊天空」   這樣...
→ jack750822  :所以我才PO了1式來類比 可是中間不知道要怎麼整理
→ jack750822  :最後才能變成(z-1)^n的級數...
推 ntust661    :直接用定義阿!
→ jack750822  :用微的? 只有三分鐘要微完找殘值(這才是題目)..
→ jack750822  :因為整個函數是我PO的指數再除以一個完全平方式
→ jack750822  :微分會抓狂啊..
→ jack750822  :記錯了= = 分母是(1+z^2)
→ jack750822  :我知道整個函數在z=1可解析殘值是0 可是我級數展
→ jack750822  :不出來...