[線代] 台大某年

[jacky7987 (憶)]

許多題目都毫無頭緒
希望大家可以繼續不厭其煩地幫助我QAQ

1. V is a vector space of function over |R. Show that {sin^n(x)} is a linear
   independent set of V, n=0,1,2...

無限獨立集是說拿任一數目出來都是獨立嗎?
               inf
還是是要用令 0=sum a_n*sin^{n}(x)這樣嗎?
                0
還是有特別的解法?(我原本以為是內積)

2.Let V be a vector space over a field F and T is a linear transform on V
  such that for all v in V, there exists a λ_v in F such that T(v)=λ_v*v.
  Show that there is a λ in F such that T(v)=λv for all v in V.

似乎是無限維度才對,原本以為 p_T(x)=det(T-xI) 恆等於0(因為全部的v都是eigenvalue
後來想想也可能因為無限維度所以我的想法是錯的
這題可以直接開圖找出那個λ嗎?


3.Let F be a field and A_1,...A_{n^2} be a basis of  M_{n*n}(F).Show that for
  any set c_1,...c_{n^2} in F there exists a B in M_{n*n}(F) such that
  tr(A_iB)=c_i for all i=1,...n^2

原本想用數學歸納法試試看
可是找不到一個理由讓滿足前n^2-1的那個B會讓tr(A_{n^2}B)=c_{n^2}


感謝大家QAQ
怎麼這麼快就要推甄了(崩潰

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◆ From: 111.240.210.143
※ 編輯: jacky7987       來自: 111.240.210.143      (09/12 03:43)
推 lovesky1    :第一題利用代數基本定理
→ keroro321   :2.選一組basis出來做,不管是不是無窮維度.
→ keroro321   :考慮T(v1..+vn)=T(v1)+..T(vn)
→ keroro321   :1.你的符號{sin^n(x)}是指 (sin(x))^n ? 是的話
→ keroro321   :if a0+a1*sin(x)+a2*(sin(x))^2+..+an*(sin(x))^n=0
→ keroro321   :for all x ,let x = 0 => a0 = 0
→ keroro321   :(a1*+a2*sin(x)+...an*(sin(x))^(n-1) )sin(x) =0
→ keroro321   :由"連續性"知道括號裡面的項必須等於0 for all x
→ keroro321   :....  最後就能證到 a0=a1=...=an=0
→ yhliu       :2. 假設 T(v1)=λ1*v1, T(v2)=λ2*v2, λ1≠λ2,
→ yhliu       :  則 T(c1*v1+c2*v2) = λ_c*(c1*v1+c2*v2)
→ yhliu       :  另一方面它又=c1*λ1*v1+c2*λ2*v2
→ yhliu       :3. 定義一個 M_{n*n}(F) 上的線性變換, 把任一 B 送
→ yhliu       :  至諸 tr(A_i B) 構成的 n 階方陣. 證明其 kernel
→ yhliu       :  僅有 0 矩陣. 因此這個線性變換是 one-to-one,
→ yhliu       :   因是 finite dimensional, 因此也是 onto, 因此
→ yhliu       :  問題之敘述得證.