Re: [線代] 台大某年

[yusd24 (阿鄉)]

※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 許多題目都毫無頭緒
: 希望大家可以繼續不厭其煩地幫助我QAQ
: 1. V is a vector space of function over |R. Show that {sin^n(x)} is a linear
:    independent set of V, n=0,1,2...
: 無限獨立集是說拿任一數目出來都是獨立嗎?
:                inf
: 還是是要用令 0=sum a_n*sin^{n}(x)這樣嗎?
:                 0
: 還是有特別的解法?(我原本以為是內積)

考慮任意的有限子集合 {sin^{n_i}(x)},i=1,...,m. 假設存在實數使得

a_1sin^{n_1}(x)+.....+a_msin^{n_m}(x)=0

我在 (0,\pi/2] 隨便挑 m 個相異的數字
得到一個以(a_1,....,a_m)為變數的線性方程組
此方程組有非零解的充分必要條件就是係數的行列式值等於零

但這不可能，因為這些係數所成的行列式是恰好就是凡德瓦行列式

也就是

1 b_1 b_1^2 .... b_1^m
1 b_2 b_2^2 .... b_2^m
.
.
1 b_m b_m^2 .... b_m^m

的樣子。此行列式為零的充要條件是 b_i=b_j for some i,j
因為我挑的 m 是相異的，因此在行列式中a_i與a_j均相異。

故不可能有非零解.




: 2.Let V be a vector space over a field F and T is a linear transform on V
:   such that for all v in V, there exists a λ_v in F such that T(v)=λ_v*v.
:   Show that there is a λ in F such that T(v)=λv for all v in V.
: 似乎是無限維度才對,原本以為 p_T(x)=det(T-xI) 恆等於0(因為全部的v都是eigenvalue
: 後來想想也可能因為無限維度所以我的想法是錯的
: 這題可以直接開圖找出那個λ嗎?

假設 w,v 線性獨立，依假設 T(v)=av, T(w)=bw. T(v+w)=c(v+w)

因為 T 是線性的，所以 c(v+w)=T(v+w)=T(v)+T(w)=av+bw => (c-a)v=(b-c)w.
因為獨立，所以 c-a=b-c=0.

也就是說如果兩個向量獨立的話，他們的λ_v要相同

現在取 V 的任意的基底 B, 隨便一個有限子集合的 λ 均相同。
因此整個 B 的λ均相同。

: 3.Let F be a field and A_1,...A_{n^2} be a basis of  M_{n*n}(F).Show that for
:   any set c_1,...c_{n^2} in F there exists a B in M_{n*n}(F) such that
:   tr(A_iB)=c_i for all i=1,...n^2
: 原本想用數學歸納法試試看
: 可是找不到一個理由讓滿足前n^2-1的那個B會讓tr(A_{n^2}B)=c_{n^2}
: 感謝大家QAQ
: 怎麼這麼快就要推甄了(崩潰

提示：<A,B>:=tr(AB^t) 是一個內積

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.249.190.144
→ yusd24      :抱歉我應該改個符號XD, 行列式應該用 b_i 比較好
→ yusd24      :a_i 我已經當作解的變數了
※ 編輯: yusd24          來自: 111.249.190.144      (09/12 11:03)
→ jacky7987   :感謝QAQ
推 jacky7987   :第一題真是剛好阿 凡德瓦..
推 jacky7987   :第三題是說 存在唯一 l.t T:M_n-->F T(A_i)=c_i
→ jacky7987   :然後這個會是某個內積 T(A_i)=<A,B'> 然後我再取B'^T
→ jacky7987   :當作我的B嗎?
→ jacky7987   :傻了不對= =
推 jacky7987   :tr(A_i*B'^t)=c_i 所以B'^t當作我的B這樣嗎?
→ yusd24      :你可以把問題化簡想成內積空間的問題(有ortho. basis
推 jacky7987   :所以我的想法是錯的!?  所以要把每個A_i正交化?
→ yusd24      :不用，你可以想一下有正交基底的話你是怎麼做這事情
→ jacky7987   :B拿sum c_iA_i?
推 jacky7987   :玩了資質愚鈍QAQ