推 Bourbaki :感謝回覆 不過我高微忘很多了 要想一下 ^^ 09/15 17:45
※ 引述《Bourbaki (大狐狸)》之銘言：
: 根據Euler Thm R^3中的某個旋轉矩陣就是一個det=1的orthogonal matrix
: 現在M是一個R^3中的旋轉矩陣 轉軸為u 轉動p度
: 題目要證:對於所有B屬於SO_3 A=B^(-1)MB是一個以B^(-1)u為轉軸 轉動p度的旋轉
: 我的問題是
: 假設A以B^(-1)u為轉軸 轉動角度是q
: A的trace跟M一樣 所以也是1+2cosp
: 而因為他的trace應該是1+2cosq
: 所以cosp=cosq 所以p=q或p=-q
: 書上(Artin)是說因為B和角度是連續變動的(?)
: 所以只有可能是其中之一 ( 這又是為什麼?)
: 取B=I即可確定是p=q這個可能
我就你所寫的資訊,推出應該是這樣.
A(B^(-1)u) = B^(-1)MB (B^(-1)u) = B^(-1)u
A 確實把 B^(-1)u 這個軸固定了
現在只要確定 A 是否為對著 B^(-1)u 這個軸轉動 p 角度 的矩陣.
SO(n,|R) 想成 n^2的點 , SO(n,|R) is path-connected .
給定一個旋轉矩陣B 可有個路徑 P:[0,1]->SO(3)
P(0)=I,P(1)=B .
A(t) = B^(-1)(t) M B(t)
A(t) , 為對著 B^(-1)(t)u 這個軸轉動 q(t) 的旋轉矩陣, 因為A(t)連續
,只要一開始選定q(0)的值, 我們可以選取其他的值q(t) , 0<t≦1 使的
f:[0,1]->q(t) 是連續
但在A(t)這個情形下, f(t) 有可能的值只能有 { p + 2nπ, -P +2nπ}
- -
因此 f(t) = constant = f(0) = q(0)
只要看著 一開始旋轉的角度就知道後面的旋轉角度
A(0) = M
q(0) = p
如果覺得有些地方出問題麻煩告訴我
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