Re: [分析] 高微

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 不好意思小弟又來尋求大家的協助QQ
:                                                  sin(x^a)
: 1. Assume a>0 and b>0. Find all (a,b) such that --------- is continuous
:                                                   1+x^b
: uniformly on {x|x>0}.
: 其實我對這類型的題目都蠻不知從何下手的
: 不管是均勻連續還是均勻收斂等等
: 可以請教大家這類型的題目要怎麼下手或思考比較好
: 感恩

Orz...這題剛剛做好久...我沒看到a>0 , b>0 反而去考慮所有情況

不過發現了：Assume a€R , b€R , 滿足 (a,b) s.t. f(x)€U.C(0,+∞)

是 (a≧0,b€R) , (a<0,b≧0)


如果你只要限制在 a>0 , b>0 , 答案就是整個a>0 , b>0

而且後段就不用看了...不過麻煩的就是後段= =



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首先用一個小工具：

<Lemma>

if f€C([a,+∞)) ,  lim  f(x) exists
                   x→∞

then f€UC[a,+∞)

證明爬文一下就有了 也很簡單


接下來把(0,+∞) 想成 (0,r] U [r,+∞)

然後就考慮下列九種情況

1.(a=0,b=0)：

       sin1
f(x) = ── on (0,+∞) , and f(x)€UC(0,+∞) (Constant function)
        2

2.(a=0,b>0)：

        sin1
f(x) = ───   , x€(0,+∞)
        1+x^b


Define f(0) = sin1

then we have f(x)€C[0,+∞)  (去check在0那點的右連續是否等於f(0))

Since lim  f(x) = 0 , by Lemma , f(x)€UC[0,+∞)
     x→+∞

so f(x)€UC(0,+∞)


接下來的 (a=0,b<0) , (a>0,b=0) , (a>0,b>0) ,(a>0,b<0) , (a<0,b<0)

都可以用類似這種步驟去證明：

一、用 lim f(x) 去定義f(0)的值，所以得到新的f(x)€C[0,+∞)
      x→0+

二、去check lim f(x) exists , by Lemma , 得到f(x)€UC[0,+∞)
           x→+∞

三、所以f(x)€UC(0,+∞)


接下來不合的情況就是 (a<0,b=0) , (a<0,b>0)

1. (a<0,b=0)：

           sin(x^a)
   f(x) = ───── on (0,+∞)
               2


   take x_n = (2nπ)^(1/a) , y_n = (2nπ+ π/2)^(1/a)

   you will find that：for all δ>0 ,

   there exists 0 <│x_(n_δ) - y_(nδ)│< δ

   s.t. │f(x_(n_δ)) - f(y_(n_δ))│>= 1/2 (代入就知道了)

   詳細的證明不寫了...口述一下：

   你任給一個小的δ，因為x_n → 0，y_n → 0，而且x_n =/= y_n

   所以會存在x_(n_δ)與y_(n_δ)使他們0 <│x_(n_δ) - y_(nδ)│< δ

   進而使│f(x_(n_δ)) - f(y_(n_δ))│>= 1/2

   意思就是說：不論x_n,y_n多麼靠近，他們的函數值都會>=1/2

   所以 f(x)在(0,+∞)不會uniformly continuous

2.(a<0,b>0)

  方法同上, x_n,y_n也跟上面取一樣
                                                  1
  只是差別在│f(x_(n_δ)) - f(y_(n_δ))│= ────────
                                            1+(y_(n_δ))^b

  可是因為 lim  x^b = 0
          x→0+

  所以一定存在r>0 , s.t. when 0 < x < r, x^b < 1

       1        1
  so ─── > ─── when 0 < x < r
     1+x^b      2

  所以當x_n , y_n夠靠近時

  而且r又是fixed, 所以一定找的到x_(n_δ) , y_(n_δ)

  使他們0 <│x_(n_δ) - y_(n_δ)│< δ

  而且使 y_(n_δ) < r (因為y_n會趨近於0)

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                1
主要是因為 sin(──) 在(0,r] 不uniformly continuous去證的
                x

因為a<0時 會讓x^a→+∞ as x→+0

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◆ From: 140.114.81.91
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 140.114.81.91        (09/16 16:04)
推 jacky7987   :感謝你:)
→ jacky7987   :原來有這個Lemma 似乎很好用@
→ znmkhxrw    :這題不太像是要考那個Lemma , 而是要去處理{0}
推 jacky7987   :恩恩
→ jacky7987   :要把0放進去 然後再拿掉 想法是這樣吧@@
→ znmkhxrw    :用右極限定義零那點後使他變成連續函數
→ znmkhxrw    :再用Heine Thm：cpt set的conti. fxn 是uniformly
→ znmkhxrw    :再拿掉~
推 jacky7987   :嗯嗯感恩:)