Re: [分析] 高微

[wickeday (WickeDay)]

※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 3.Let N={1,2,3,..} and E be defined as follow: A is contained in E iff A is
:   a subset of N. Show that there is a bijective mapping from E to an open
:   interval (0,1).

題目只是要證存在，所以不要真的去找阿

Let f: E -> (0,1),

    f(A) := Σ 1/2^k.
           k in A

但空集合和N要另外定，隨便挑個值就好了
很顯然這個函數onto但是不1-1

Let g: E -> (0,1),

    f(A) := 1/10 + Σ 1/10^k.
                 k in A

而這函數1-1但不onto

根據某個定理你可以得到 #E=#(0,1).

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.250.110.175
推 jacky7987   :所以說 在兩個集合中 有兩個函數f,g一個是1-1 一個是
→ jacky7987   :onto,就會有一個bijective的函數嗎?
→ wickeday    :課本應該都有那個定理 只是我忘記名字拉
推 jacky7987   :我的課本都沒寫= =" 還是感謝你:D
→ dogy007     :另一個想法是，先只對 A 及 N-A 有無限多個元素的 A
→ dogy007     :定義 f(A) 如上面第一個定義
→ dogy007     :這相當於把這些 A 對應到二進位的無限小數
→ dogy007     :但不包含後面都是 0 或者 1 的小數
→ dogy007     :而沒定義到的 A 有可數個，
→ dogy007     :沒被對應到(0,1)實數也是可數個
→ dogy007     :再把兩者對映起來就好了