Re: [數論] 找 n 使得 36|n^9+n^6+n^3+1

[Minkowski (四維之祖)]

※ 引述《iddee ()》之銘言：
: 求所有小於 36 的正整數 n 使得 36 | (n^9 + n^6 + n^3 + 1)

　　 12           3       9    6    3
　　n   － 1 ＝ (n － 1)(n ＋ n ＋ n ＋ 1). Notice that

     12
36∣n  － 1 <=> g.c.d.(n,36) ＝ 1.

                       9    6    3         6       3
　　Next, we see that n ＋ n ＋ n ＋ 1 ＝(n ＋ 1)(n ＋ 1). If

                                        6          3
g.c.d.(n,36) ＝ 1, then n is odd, both n ＋ 1 and n ＋ 1 are even, and

        6       3
so 4∣(n ＋ 1)(n ＋ 1).

                3               6                       6
　　Now, if 3∣n ＋ 1, then 3∣n － 1, 3 cannot divide n ＋ 1.

         3
Thus 9∣n ＋ 1, n ≡ 2, 5, 8 (mod 9). In summary,

n ≡ 2, 5, 8 (mod 9) and n ≡ 1, 3 (mod 4),

n ＝ 29, 5, 17, 11, 23, 35.

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