[微積] 一題拋物線的證明

[drinks9216 (drinks)]

題目 : 證明拋物線之任一焦弦兩端點的切線必相交於準線上

<pf> 設拋物線之任一焦弦的兩端點為 (x_1 , y_1) , (x_2 , y_2)

     x^2=4py  => 2x=4py'

              => y'=x/2p   ∴ 斜率 m = x_i/2p   ( i=1,2 )

     切線方程為 y-y_i = (x_i/2p)(x-x_i)         ( i=1,2 )

           令 y=-p

            => -p-y_i = (x_i/2p)x - (x_i)^2/2p

                      = (x_i/2p)x - (4py_i)/2p

            => -p+y_i = (x_i/2p)x

            => x=2p(y_i-p)/x_i                    ( i=1,2 )

            => (y_1-p)/x_1 = (y_2-p)/x_2

=====================分格線是我=============================

各位前輩及同好 ~ 晚安

這證明是要證 " 拋物線之任一焦弦兩端點的切線必相交於準線上 "

一開始是先找出兩端點的斜率 然後得出兩端點的切線方程

但是證到後面 就不知道要怎麼寫下去了

所以po上來 請問前輩及同好們

之後要怎麼證 ??  感謝 <(__)>


p.s 請不要用幾何證明 用代數的方式 感謝啦 Orz

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◆ From: 140.128.36.160
※ 編輯: drinks9216      來自: 140.128.36.160       (09/17 18:54)
※ 編輯: drinks9216      來自: 140.128.36.160       (09/17 18:59)
推 oldblackwang:首先筆誤，x^2=4py。然後你要證明兩切線交點在準線上
→ oldblackwang:就去求兩切線交點的y坐標為-p就好，你這樣是相當於從
→ oldblackwang:準線上找一點所作的兩切線的切點，證明了與焦點(0,p)
→ oldblackwang:共線。把最後一式改成(y_1-p)/x_1=(y_2-p)/x_2就知了
→ drinks9216  :感謝樓上前輩回應 , 小弟還是有點不懂 ?? 最後一式
→ drinks9216  : 已經是 (y_1-p)/x_1 = (y_2-p)/x_2  可否請大大再說
→ drinks9216  :得詳細些 感謝Orz
※ 編輯: drinks9216      來自: 140.128.36.160       (09/17 19:34)
推 oldblackwang:就是(x_1,y_1)(0,p)(x_2,y_2)斜率相同，所以共線
→ drinks9216  :恩恩 懂了 太太感謝了 <(__)>