[分析] S^1 is compact & connected

[znmkhxrw (QQ)]

主要是想請教一下有無快速方法證明圓圈是compact & connected

因為考古題的 S = {(x,y) │x^2 + y^6 = 1} 很像圓

而當初學高微時是用圖形很容易就看出圓圈是compact and connected

可是沒自己證過= =



剛剛看了一下考古題

要證 S = {(x,y) │x^2 + y^6 = 1} 是compact and connected

發現他是隱函數...目前還沒複習到XD(還是這種題目用隱函數定理可以解決?)
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想法：

(一) connected：

土法煉鋼慢慢做 , 把x看成y的函數

1. y 的domain 是[-1,1]

2. x = + (y^6 - 1)^(1/2) or - (y^6 - 1)^(1/2)

所以題目就變成證 A U B is compact and connected

where A = {(+(y^6 - 1)^(1/2) , y) │y€[-1,1]}

      B = {(-(y^6 - 1)^(1/2) , y) │y€[-1,1]}

而因為 + (y^6 - 1)^(1/2) 與 - (y^6 - 1)^(1/2) 都是conti. on [-1,1]

所以 A , B 皆是connected ，但是 A U B 呢??

怎麼用數學式子去寫說它的邊點會接在一起??

(二) compact：我想用Heine - Borel Theorem

1.bdd.：trivial

2.closed：

  問題來了...看圖很簡單...可是去證的話

  我想證明：任何不在 S 上的點 , 一定存在一個鄰域

            使得這個鄰域跟 S 的交集是空集合

  所以 如果(a,b) , s.t. a^2 + b^6 > 1 (<1也是同理)

  我想證明 (a,b)跟 S 的距離(d)是大於0的

  (這樣鄰域的半徑取d/2就可得證  因為距離是最短垂直距離)

  好加在...S可以參數化成 ( cost , (sint)^(1/3) )  , t€[0,2pi)

  所以我真的要硬幹嗎？

  i.e. Try to prove d( (a,b) , S ) > 0 if a^2 + b^6 =/= 1

  而且就算要硬幹我也不太會...畢竟這不是一個圓圈

  如果是x^2 + y^2 = 1的情形的話

  很簡單...d = (a^2 + b^2)^(1/2) - 1 即可

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這學期才剛修幾何

以後應該會教 f(x,y) = 0 的圖形( S )的通解吧?? (一定是點or線?)

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◆ From: 111.243.146.161
推 Vulpix      :證明S是閉集，只要證明f:(x,y)├→x^2+y^6連續即可
→ Vulpix      :因為S=(f^-1){1}，而且{1}是閉集
→ Vulpix      :至於連通，證明path connected比較簡單
推 wickeday    :證path-connected會比較簡單
推 jacky7987   :路徑參數你都寫了XD
→ znmkhxrw    :把x^2 + y^6 = 1 看作是一個封閉圖形算不算作弊@@?
→ Vulpix      :你的問題不就是怎麼把它看成封閉圖形嗎？
→ znmkhxrw    :綜合你們講的 令f_(t1,t2)：[0,1] → S by
→ znmkhxrw    :f_(t1,t2)(x) = (cos(x*t1+(1-x)*t2) , sin()^(1/3))
→ znmkhxrw    :sin裡面放的東西也跟cos一樣, 這樣就證出path-conn?
→ Vulpix      :因為這就是一條把t1的那點跟t2的那一點連起來的path
→ Vulpix      :整條都在S上，而且任給S上兩點一定會有t1,t2
推 jacky7987   :小弟覺得V大證closed的手法真好:D
→ znmkhxrw    :done了  謝謝大家~~
→ h2o1125     :compact 用連續涵數  參數式  就得證了吧