※ 引述《deepwoody (快回火星吧)》之銘言：
: 假設我知道一個一維ODE
: 2
: d φ(x) 2
: －D ──── + K Dφ(x) = Qδ(x)
: 2
: d x
: 的解是
: Q -K|x|
: φ(x) = ───e
: 2KD
-φ" + K^2 φ = 0 whenever x≠0
and
-φ'(0+) + φ'(0-) = Q/D
then
φ(x) = a e^{-Kx} when x>0
φ(x) = b e^{Kx} when x<0
then
a=b
and
aK+bK=Q/D
: 那個如果把ODE改成三維(也就是ｒ= (x,y,z))的PDE
: 2 2
: －D▽ φ(ｒ) + K Dφ(ｒ) = Qδ(ｒ)
: 那麼這個PDE的解可以寫成
: Q -K|ｒ|
: φ(ｒ) = ───e
: 2KD
: 這個樣子嗎?
: 謝謝!
- ▽^2 φ + K^2 φ = 0 whenever r≠0
and
▽^2 φ = (1/r)(d^2/dr^2) (rφ)
(d^2/dr^2) (rφ) + K^2 (rφ) = 0
rφ= u = a cos(Kr) + b sin(Kr) when r≠0
▽=(d/dr)+...
▽φ= -u/r^2 + u'/r
and
－∮_Ω ▽ φ(ｒ)‧dA + K^2 ∫_V φ(ｒ) dV = Q/D when the origin in V
= 0 when the origin not in V
Take V a infinitesimal ball with the center origin
^^^^^^^^^^^^^
－∮_Ω ▽ φ(ｒ)‧dA = -4πa
K^2 ∫_V φ(ｒ) dV =0
hence, a=-Q/(4πD), b=0
φ = - Q cos(Kr) / (4πDr)
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