※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: Squeeze theorem：
: if f(x) <= g(x) <= h(x) , for all x>0 , lim f(x) = lim h(x) = A
: x→0+ x→0+
: then lim g(x) = A
: x→0+
: 如果 for all e > 0 ,
^^^^^^^^^^^^^
: (1-e)*f(x) <= g(x) <= (1+e)*h(x) ,for all x>0 , lim f(x) = lim h(x) = 1
: x→0+ x→0+
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
小漏洞：必須限制 e<1，或者把範圍改成 for x near x=0+
（ lim f(x) = 1 > 0 只能保證 f 在 0+ 附近為正值）
x→0+
不然不等式可能因為負負得正而爆炸。
撇開漏洞不管
你這個條件其實就是 f(x)≦g(x)≦h(x) for all x>0 啊！
pf（反證法）:
假如在 0+ 附近有一點 x 使得 f(x ) > g(x ) （即違反f(x)≦g(x)）
a a a
則只要選取 e < 1 - g(x )/f(x )
a a
就有 (1-e)*f(x ) > g(x ) （與 (1-e)*f(x) <= g(x) 矛盾！）
a a
故不能有任一點 x 違反 f(x)≦g(x)。同理也不能違反g(x)≦h(x)。
a #
: then lim g(x) 是否會等於1????
: x→0+
: 重點！ 如果題目給了：lim g(x) exists = L
: x→0+
: then 三者都take lim_{x→0+}
: we find for all e>0 , 1-e <= L <= 1+e , so L =1
: 但是 如果目前不知道極限值存在呢??? 這樣就不太嚴謹了吧！？
我是覺得不要去想什麼inf、sup的，從極限的定義去做最直接
以前老師也是這麼教的：
lim f(x) = A, lim h(x) = A
x→0+ x→0+
by definition,
Given ε>0, 存在 δ s.t. 「all x屬於(0,0+δ ) → A-ε< f(x) < A+ε」
f f
and δ s.t. 「all x屬於(0,0+δ ) → A-ε< h(x) < A+ε」
h h
取 δ = min(δ , δ )
f h
∵ f(x) ≦ g(x) ≦ h(x) for all x>0
∴ 在 x 屬於 (0,0+δ) 有 A-ε < g(x) < A+ε
也就是說，對於任意ε>0，均可找到 δ 使得 0< x < 0+δ → |g(x)-A|<ε
故按照定義 lim g(x) 存在且等於 A
x→0+
qed
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