推 JohnMash :good 09/20 16:33
推 zivkmc :感謝 但後來查到的答案為根號3分之一 09/21 13:13
→ ricestone :因為題目只有說證明存在 09/22 13:41
※ 引述《zivkmc (ziv)》之銘言：
: 求證:存在正常數c使得對所有實數x,y,z,有
: 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|>c(|x|+|y|+|z|)
不妨假設 |x|<=|y|<=|z|
如果 |z| <= 2 則 |x|+|y|+|z| <= 6
則 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz| > (1/7)(|x|+|y|+|z|)
接下來考慮 |z| > 2 的情形
如果 |xy| >= 1 則 |xyz| >= |z| >= (1/3)(|x|+|y|+|z|)
所以 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz| > (1/3)(|x|+|y|+|z|)
接下來考慮 |z|>2, |xy|<1 的情形
如果 |x+y|< 1, 則 |x+y+z| >= |z|-1 >= |z|/2 >= (1/6)(|x|+|y|+|z|)
所以 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|> (1/6)(|x|+|y|+|z|)
接下來考慮 |z|>2, |xy|<1, |x+y|>= 1 的情形
|xy+yz+zx| = |(x+y)z + xy|>=|(x+y)z|-|xy| >= |z|-1 >= |z|/2
>= (1/6)(|x|+|y|+|z|)
所以 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|> (1/6)(|x|+|y|+|z|)
從上面討論可以知道對任意實數 x, y,z
取 c =1/7
不等式恆成立
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.132.177.99