Re: [分析] 想問微分幾何的問題

[herstein (翔爸)]

※ 引述《moon0815 (阿呆￾  )》之銘言：
: 我想請問一下
: 微分幾何裡面的同構 同胚
: 代表的是什麼意思呢?
: 我看了書 但是不太能領會他的意思...
: 希望高手能解釋 提點一下
: 謝謝各位大大

Two topological spaces are homeomorphic (同胚) if there exists a continuous
bijection between them whose inverse is also continuous。

假如你有兩個拓樸空間X與Y，如果你可以找到一個X與Y之間的一一對應f並且
f與f^-1均是連續函數，則稱X與Y同胚。同胚在拓樸空間的意義下指的是兩個
拓樸空間可以視為一樣的，儘管兩個看起來(在幾何上)是很不一樣的東西。
舉例來說，橢圓形跟圓形幾何上看起來是不相同，但以拓樸空間這個範疇來
說，可以視為同樣(同胚)的拓樸空間。

因為f與f^-1均是連續，如果U是X中的開集合，那麼f(U)=V會是Y中的開集合。
反之，如果V是Y中的開集合f^-1(V)會是U中的開集合。假如我令Top(X)， Top(Y)
分別表示X與Y中的拓樸。那麼利用f與f^-1我們可以建構出

              Top(X) <-> Top(Y)

一個一一對應的關係。也就是說同胚的拓樸空間，你看不出來他們拓樸之間的
差別在哪。

同構的話看你指的是哪一種同構關係。

在任何的範疇(Category)中，同構(isomorphic)的物件(objects)指的是具有
相同結構的。在拓樸空間的範疇裡，同構等同於同胚。在微分流形的範疇裡，同
構是微分同胚。在代數裡，群環體有各自同構的概念。例如說f:G-> G'是群同構，指
的是f保持群運算，並且是一個G與G'間的一一對應(one-to-one correspondence)。

觀於範疇相關的概念可以查閱維基網站
http://0rz.tw/TaadM

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 195.37.209.182
→ sleep123    :這邊定義C^0，有些要求到C^1
推 jacky7987   :C^1是differmorphism 為了保持流形的好XD
→ jacky7987   :                                 (吧
→ sleep123    :樓上正解 不過我不知道diffeomorphism中文是什麼
                                    微分同胚

通常講同胚的話單純指的是拓樸那個層級。如果要講diffeomorphism中文應該完整的表達
微分同胚且不能省略"微分"。微分流形的範疇與拓樸空間的範疇有很大的差異，通常拓樸
空間並不具有微分結構的。所以當他提同胚的時候，我只會回答，拓樸空間的範疇。

→ sleep123    :初學微分幾何通常不會特別講manifold
如果是古典的微分幾何會從曲線曲面開始談。如果是學微分流形的，有些書會從
拓樸流形(topological manifold)開始，由此就會從拓樸流形是局部與歐氏空間
同胚的定義開始。

→ sleep123    :大抵上就三維中的二維拉來拉去，看長得什麼樣子
推 WINDHEAD    :翔爸翔爸翔爸翔爸翔爸翔爸翔爸翔爸翔爸翔爸翔爸翔爸
推 xgcj        :YA!
※ 編輯: herstein        來自: 195.37.209.182       (09/20 23:39)
推 Lindemann   :推很詳細那可以請大大補充一下為何後來需Categor概念
推 Lindemann   :我的問題是是否這個概念把所有的數學態射都簡化出來?
推 Lindemann   :應該是說範疇所想定義的大學就一直再用了何必用這詞?
→ Lindemann   :因為我覺得通常不是念代數幾何看到這類字也會有點怕?
推 Lindemann   :homeomorphism跟diffeomorphism天差地遠吧Milnor怪球