→ dogy007 :另外 |sin(x^2)| <= |sin(x^2)|*x/sqrt(pi*(N-1)) 09/24 07:47
→ dogy007 :所以可以上下夾，知道該瑕積分發散的速度 09/24 07:48
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: : 老師是說他不收斂
: : 可是我證不出來= =
: : 如果是│sinx│很簡單
: : 可是│sin(x^2)│ , 他的"山峰"寬度越來越小 ( ((n+1)pi)^(1/2) - (npi)^(1/2))
: : 我朝了它有無限多個山峰(=1)去導矛盾 也導不出來
: : 因為存在有"正向函數即使在很遠之後的limit不為0 瑕積分也可存在"的情況
: : 於是再想說 考慮每個山坡 連接峰頂和左右端點所形成的三角形
: : 如果這個三角形是被這座山包含 我就證出不收斂
: : 不過好景不常...│sin(x^2)│並不是凹函數...所以這三角形會超出這座山
: : 試不出來阿~~~
: 我還是試不出來耶...
: 目前令x=t^(1/2) 則 │sin(x^2)│= │sint│/t^(1/2)
: 而│sint│ │sint│
: ──── >= ────
: t^(1/2) t
: 所以只要證明後者發散即可
: 然後後者的圖形 畫起來更像山了
: 也就是說每個山坡 連接峰頂和左右端點所形成的三角形 會包在該山內
: │sint│
: 但是很奇怪...我對x€[npi,(n+1/2)pi] 去做 ────的二階導數
: t
: 並不是小於0 (如果小於零→凹函數→連接的直線一定在函數下)
: 可是用wolfram去畫的直線 確實都在山底下
: 我覺得應該是靠近山腳時 太接近了 所以才沒看出來
: 確實二階導數沒有小於0的點 大多也在山腳附近
: 而且這個方法好麻煩喔= =
: 有別的方法嗎???
→ dogy007 :For sqrt(pi*(N-1)) <= x <= sqrt(pi*N) 09/19 14:31
→ dogy007 :|sin(x^2)| >= |sin(x^2)|*x/sqrt(pi*(N-1)) 09/19 14:32
→ dogy007 :打錯了, 上面應該是 >= |sin(x^2)|*x/sqrt(pi*N) 09/19 14:34
→ dogy007 :所以該積分會大於一個級數的和，而級數發散 09/19 14:35
積分 |sin(x^2)| dx >= 積分 |sin(x^2)|*x/sqrt(pi*N) dx
上面積分由 sqrt(pi*(N-1)) 到 sqrt(pi*N)
但積分 |sin(x^2)|*x/sqrt(pi*N) dx = 1/sqrt(pi*N)
所以 原瑕積分 >= sum 1/sqrt(pi*N) 求和 N = 1 到無限大
但此無限級數發散
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