Re: [微積] 請教一題一階微方系統解法

[bary123 (QQ)]

不好意思借原標題再問另外一題


     1  1  1
X'=  1  1  1  X
    -2 -2 -2

解出的特徵值是三個0，(確認好幾次應該沒錯，再錯我真的要撞牆了...)

將特徵值帶回求特徵向量

經高斯橋登消去法整理後得到

1 1 1|0
0 0 0|0
0 0 0|0
                       1        1
解出兩個特徵向量  K1= -1 , K2=  0
                       0       -1

因為特徵值有重根，根據課本的方法 (λI-A)P=K  求P

結果如下

 1   1   1| 1
 1   1   1|-1
-2  -2  -2| 0

就卡住了....這樣子P是無解吧？

所以答案就是C1*K1+C2*K2

可是我用 X=e^At  去解，答案是

  t+1       t         t
C1 t  + C2 t+1 + C3   t
  -2t      -2t      -2t+1

不知道是不是我哪裡又弄錯了

麻煩各位解答一下，謝謝

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◆ From: 218.172.126.214
推 ntust661    :找廣義特徵向量，不一定要取那一個特徵向量當 X1
推 jacky7987   :要懂得話可能得先學一下jordan form比較好...
→ bary123     :這樣看起來我得翻線代起來複習一下了
推 jacky7987   :算完jordan form 得到X'=PJP^{-1}X之後
→ jacky7987   :Let Y=P^{-1}X or X=PY
→ jacky7987   :原本系統就變成 Y'=JY 解完再回去生X
→ bary123     :請問P要怎麼找出來？  還有何謂廣義特徵向量？
→ bary123     :是指說特徵向量*n倍？
推 jacky7987   :ker((X-λI)^k)裡面的向量
→ dogy007     :令 X = (x_1, x_2, x_3) 轉置
→ dogy007     :(x_1)' = (x_2)', (x_3)' = -2(x_3)'
→ dogy007     :所以 x_2 = x_1 + c_2, x_3 = -2x_1 + c_3
→ dogy007     :帶進原方程式 (x_1)' = c_2+c_3