※ 引述《pop10353 (卡卡:目)》之銘言：
: Q:
: Use the ε-δ definition of limit to prove that
: l i m x^2 = 4
: x-> 2
由於x很靠近2 因此可以假設x落在(1,3)間
可知當0<|x-2|<δ時 利用|x+2|<5得
|x^2-4| = |x+2||x-2| < 5|x-2| < 5δ
因此只要取δ≦ε/5, 自然就會有|x^2-4|<ε.
(這邊不利用3<|x+2|是因為不等式的方向)
那問題是 怎麼可以假設x一定落在(1,3)間呢? 聽起來很不嚴謹
所以我們要求|x-2|<1, 亦即希望δ≦1
綜合以上才寫 取δ=min(ε/5,1)
只要要求δ為兩者間較小的 自然就會比另一者還小.
所以要拿其他的開區間來利用當然也是可以的
比方說可以抓(1.5,2.5), 則δ≦0.5, 而|x+2|<4.5
且此時|x^2-4| = |x+2||x-2| < 4.5|x-2| < 4.5δ
要求δ≦ε/4.5, 因此取δ=min(ε/4.5,0.5)即可.
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