[其他] 複變積分兩題

[andy2007 (...)]

各位前輩好，有兩個複變的問題想請教各位

1.
        -x
  ∞   e   cosx
∫   ------------ dx
  0      √x


我的作法是:

由於分母和分子都不是積函數或偶函數，所以寫成下式 :

            -z  iz
      ∞   e   e
Re [ ∫  ---------- dz ] ; 其中 z = x+iy
      0     √z

使用封閉曲線計算時，卻不知道要從哪裡拉回來

看課本是寫說取θ= π/4，的確這樣取最後可以把答案算出

但是為什麼要取π/4呢？


2. 相同的題目


  ∞  cosx                       -x
∫   ------ dx 和上面題目差了個 e   ，在另外一本書上
  0   √x

卻看到拉回來的角度是取θ= π/2，這又是為什麼呢？

難道只是因為計算方便才這樣取的嗎？


3. 就我所知道的部份

  ∞     1
∫   --------- dx
  0   1 + x^3

這題目取封閉曲線，拉回來的角度是θ= 2π/3

是因為複變函數的映射轉換

         i(2π/3)
z  =  re

 3     3  i2π    3
z  =  r  e     = r (又回到實軸)


但如果就上面兩題，角度為什麼選擇π/4和π/2呢？


4.計算

  ∞
∫   cos(x^2) dx
  0

課本寫說：

本題應考慮如下積分

          iz^2
lim   ∮ e     dz
R→∞  c

路徑的設計使用了射線 θ= π/4

「因為這條線平方之後再乘以i便是實數」←這句話是什麼意思呢？



意思這樣子嗎？

  ∞                            ∞  ix^2
∫   cos(x^2) + sin(x^2) dx = ∫   e     dx
  0                             0

            i(π/4)
若取   z = e
            i(π/2)
     z^2 = e         = i

   i z^2 = -1   不過這樣的有什麼涵義呢？




初學複變函數，有很多不清楚的地方，請各位前輩們多多包容

也煩請前輩們批評指教，再次謝謝您們。<(_ _)>


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推 jacky7987   :老師都會說:這些是前人的智慧...
→ andy2007    :謝謝jacky7987前輩，要想到特定角度實在是很困難～
→ andy2007    :難道沒有任何理由嗎？還是說這是經驗法則？
推 jacky7987   :我猜想 可能是他們先預設角度 去解 然後找個角度
→ jacky7987   :讓你不要的地方收斂到0
→ jacky7987   :不過大致上分成這幾種類型阿