[其他] 複數三角不等式

[andy2007 (...)]

各位前輩好，遺忘了高中數學的證明，希望前輩們能指點迷津

複數絕對值的三角不等式如下：


| z1 + z2 | ≦ | z1 | + | z2 |

但是我無法證明

| |z1|-|z2| | ≦ | z1 - z2 |

我的想法如下：

| z1 | = | z1 - z2 + z2 |

| z1 | ≦ | z1 - z2 | + | z2 |

| z1 | - | z2 | ≦ | z1 - z2 |


之後就不知道該怎麼辦了Orz

請各位前輩們指教，再次謝謝各位前輩 <(_ _)>





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◆ From: 140.125.169.71
推 jacky7987   :交換z_1和z_2的位置 你就會得到
→ jacky7987   :|z_2|-|z_1|≦|z_1-z_2|
→ jacky7987   :一個簡單事實:a≦b and -a≦b則|a|≦b
推 dogy007     :0, z1, z2 為三角形三頂點,
→ dogy007     :|z1|, |z2| , |z1-z2| 分別為三邊長
→ andy2007    :謝謝jacky7987和dogy007前輩，但是z1和z2互換
→ andy2007    :不用加上負號嗎？ -[|z1|-|z2|] ≦ -| z1 - z2 |
→ jacky7987   :|-1|=1阿XD
→ jacky7987   :|z1-z2|=|-(z2-z1)|=|-1|*|z2-z1|=|z2-z1|

謝謝jacky7987前輩，我程度太差了，我將完整過程寫下：


| z1 | = | z1 - z2 + z2 |

| z1 | ≦ | z1 - z2 | + | z2 |

| z1 | - | z2 | ≦ | z1 - z2 | ---(1)

且

| z2 | = | z2 - z1 + z1 |

| z2 | ≦ | z2 - z1 | + | z1 |

| z2 | - | z1 | ≦ | z2 - z1 | ---(2)

又因為

| z2 - z1 | = | -( z1 - z2 ) | = |-1|| z1 - z2 |

所以

   | z2 | - | z1 | ≦ | z1 - z2 |

=>  - [ | z1 | - | z2 | ] ≦ | z1 - z2 |

        | z1 | - | z2 |   ≦ | z1 - z2 |

利用到了：

a≦b and -a≦b 則 |a|≦b

因此

| |z1|-|z2| | ≦ | z1 - z2 |

這樣的證明可以嗎？
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (09/24 20:49)
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (09/24 20:52)
推 jacky7987   :可以~ 不過證明可以用一句話簡化
→ jacky7987   :just change the index we get (第二段
→ jacky7987   :因為技巧是一樣的
→ andy2007    :謝謝jacky7987前輩指教~再次謝謝您~