[微積] 幾個無限觀念的問題

[weltschmerz (威爾特斯克˙悶死)]

在別的地方看到的

但是依然懵懵懂懂所以來版上問問看

首先第一題

1. 每隔 t 時間，就放10顆球(球有編號)到一個大箱子裡，並從箱子拿走其中一顆。
方法如下：
第一次放進1~10號球，拿走1號球。
第二次放進11~20號球，拿走2號球。
第三次放進21~30號球，拿走3號球。
第四次放進31~40號球，拿走4號球。
第五次放進41~50號球，拿走5號球。
...
...

依此規則重複無限多次，請問最後箱子有幾顆球？

答案：0顆





2. 每隔 t 時間，就放10顆球(球有編號)到一個大箱子裡，並從箱子拿走其中一顆。
方法如下：
第一次放進1~10號球，拿走1號球。
第二次放進11~20號球，拿走11號球。
第三次放進21~30號球，拿走21號球。
第四次放進31~40號球，拿走31號球。
第五次放進41~50號球，拿走41號球。
...
...

依此規則重複無限多次，請問最後箱子有幾顆球？

答案：無限多顆



3. 每隔 t 時間，就放10顆球(球有編號)到一個大箱子裡，並從箱子拿走其中一顆。
方法如下：
第一次放進1~10號球，從這10顆球中，隨機取出1顆。
第二次放進11~20號球，從這19顆球中，隨機取出1顆。
第三次放進21~30號球，從這28顆球中，隨機取出1顆。
第四次放進31~40號球，從這37顆球中，隨機取出1顆。
第五次放進41~50號球，從這46顆球中，隨機取出1顆。
...
...

依此規則重複無限多次，請問最後箱子有幾顆球？

答案：0顆

==============================什麼?的分隔線==================================

上面就是原題目啦

根據出題者的解答如下

如果今天實驗進行有限次的話，那麼這3種狀況下，箱子裡的球是一樣多的。
但是如果牽涉到無窮的概念，就會隨著實驗的方式而有不同的結果。

解答：
(1) 因為每一顆球都有編號，所以如果箱子裡有球的話，不妨假設這顆球的編號是n。
請注意：n不會是∞，因為∞不是數目，它只是符號。
另外，這個實驗的重點是：
第1次拿走1號球。
第2次拿走2號球。
第3次拿走3號球。
... (依此類推)

因為實驗進行"無限多次"，所以在第n次時，編號n的這顆球就被拿走了。
也就是說，箱子裡面不可能有球。
其實也可以反問：如果箱子裡有球的話，那麼這顆球的編號是多少?



(2) 此題的想法同上題，但因為拿球的規則不一樣(只拿1號,11號,21號...)，
所以2號球,3號球,4號球...  這些球永遠都不會被拿走。
也就是說箱子裡永遠有2號球,3號球,4號球...
而且每經過一次實驗，箱子裡就會多9顆不會被拿走的球，
所以球的數量越來越多，當然最後就變成無限多顆球。


第三題出題者用了算式表示之

http://ppt.cc/qAW5

http://ppt.cc/N8Ur

================================疑問的分隔線==================================

我一開始是很單純用n→∞去解釋

但是發現這樣我還是不懂第一題跟第三題的解答...

看板上有沒有人可以幫忙用口語的方式解答一下疑惑

（非數學系，所以我也看不懂第三題的解法（攤））

直覺思考的話

每次放入10顆，取出1顆，如此一來便有9顆遺留？？？

期待大家幫忙想想看


其實他後面還有補充一個關於時間的部份

雖然我不懂這會不會影響到答案...

原本的題目是這樣： 在11:59 ～12:00，共1分鐘的時間裡，
在11:59的時候，放入10顆球到箱子裡，並拿走其中1顆。
在1/2 minute to 12:00的時候，再放入10顆球，並拿走其中1顆。
在1/4 minute to 12:00的時候，再放入10顆球，並拿走其中1顆。
在1/8 minute to 12:00的時候，再放入10顆球，並拿走其中1顆。
...
（因此可進行無限多次）
（拿走球的規則，分別就是以上3題的狀況。）

請問12:00的時候，箱子裡有幾顆球？



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.46.229.18
→ ricestone   :第一個情況，不管n是第幾次，n+1號還是留在箱子裡吧
→ ricestone   :第三個情況，他的算法有問題
→ ricestone   :這種算法就跟說數線上[0..1]上選到[0..1/3]的機率是0
→ ricestone   :一樣
→ ricestone   :因為數線上選到任何特定一點機率是0，所以...
※ 編輯: weltschmerz     來自: 114.46.229.18        (09/25 02:16)
→ ricestone   :雖然說時間有收斂成一分鐘，但是顆數沒有收斂
→ ricestone   :應該還是都是無限多顆
我試過用這說法去提問

我：「照這方式 第一題 進行到n次 放入編號n～n+9的球 取走編號為n的球

這樣該次依然會剩下n+1～n+9」

（也就是不管怎樣，都不可能清空）

下面有人回我：「你的說法依然只建立在有限上 無限的時候 n或n+9都是無限

而 無限-(無限+9)≠9」

這...我當然知道對無限進行運算沒有意義阿（抱頭）

還有人回答說

這個討論串也有人問說

「這樣放入永遠比拿出多，怎麼會有0的結果」

然後就會被回說：「你這樣想就不是無限的概念了」

...

貼個討論串原文網址好了

http://forum.gamer.com.tw/C.php?bsn=60076&snA=909565&tnum=30

雖然這裡是一堆小屁孩聚集的地方...但是那不是重點...重點是問題本身
※ 編輯: weltschmerz     來自: 114.46.229.18        (09/25 03:12)
→ weltschmerz :出題者的原話
→ weltschmerz :如果是有限次實驗，就可以視為每次放9顆。但如果是無
→ weltschmerz :限次實驗，則放球與拿球要分開去想。
推 recorriendo :第三題在機率導論的本利就有
→ recorriendo :第三題的結論是機率上的概念 和前兩提其實不太一樣
→ recorriendo :前兩題數學上市沒有問題的 只是有點違反直覺而已
→ recorriendo :其實這問題還有過展到無限大以外ordinal number的版
→ recorriendo :本 而有更詭異的結論