推 duv :謝謝塔矢學長 我知道怎麼寫了>///< 09/25 04:02
推 duv :另外這題的確是實對稱矩陣 感謝學長額外提供的知識^^ 09/25 05:00
→ yhliu :幸好是實矩陣, 否則 A^2=0 並不能 implies A=0. 09/25 09:23
→ yhliu :複數矩陣或Z2矩陣都很容易找到反例. 09/25 09:23
※ 引述《duv (duv)》之銘言：
: 原本的題目是要證明
: 當A是對稱矩陣時,對於所有的正整數m而言,
: 若A^m =0,則A=0 必成立.
: =========================================
: 基本上m=1,2,3,4,...我會證
: 但不大知道 該怎麼用數學歸納法
: 把他有系統地 將m屬於所有整數的情形 寫出來orz
: 可以麻煩指點一下嗎orz
: =========================================
: m=1: A^1=0 => A=0 這很顯然成立XD
: m=2: A^2=0 => A=0 利用1.A是對稱矩陣的性質及
: 2.矩陣的行向量與列向量的內積運算 (詳細過程要寫很多就略XD
: 這我也證了出來
: 接下來,先看m=4,再看m=3
: m=4: A^4= (A^2)^2 , 1.令A^2=B,則A^4=B^2=0
: 且因為B為對稱矩陣,
: 所以情況回到m=2的情形,
: 可以直接援引m=2的結果XD
: 因此B^2=0 => B=0 得證
: 2.又B=0 => A^2=0 => A=0 (又再次援引m=2)的結果
: 3.故A^4=0 =>A=0得證
: m=3: A^3=0 =>A*A^3=A*0 => A^4=0 ,接著援引m=4的結果 ,可得A=0, 得證
: 接下來, m=6, m=5 也是一樣的證明手法
: 接下來, m=8, m=7 也是一樣的證明手法
: .
: .
: .
: 但我有點不知道該怎麼樣
: 系統化地將m=2t, m=2t-1, t屬於整數
: 的所有case 表達出來orz
你不是差不多寫出來了嗎? xD
傳統的教法會這樣寫 :
==============================================================
假設 m = 1 ~ 2t, t≧1 成立, 要證 m = 2t+1, 2(t+1) 也成立:
case m = 2(t+1)
觀察 A^m = 0 = (A^2)^(t+1), 其中 A^2 也是對稱矩陣
又因 t+1 ≦ 2t , 可套用歸納假設知 A^2 = 0
再因 2 ≦ 2t , 可套用歸納假設知 A = 0
case m = 2t+1
觀察 A^m = 0, 知 A^(m+1) = 0
由前一個 case 知 A = 0
==============================================================
你也可以這樣寫 :
==============================================================
m = 1, 2 成立; 觀察 m = t ≧ 3
則 A^t = 0 告訴我們有某個 k 滿足 2^k ≧ t , 因此 A^{2^k} = 0
因 A^{2^i} 對所有 i 都對稱, 由 m = 2 的 case 知
0 = A^{2^(k-1)} = A^{2^(k-2)} = ... = A^2 = A
==============================================================
再來, 如果你這題是實對稱矩陣的話,
有個定理說 A 必可對角化,
因此若 A 有 eigenvaluees a_i, 則 A^m 的 eigenvalue 會是 a_i^m
但 A^m = 0 的 eigenvalues 全 0, 故 A 的 eigenvalues 也全 0,
故 A = 0
--
在馬橋，與「他」近意的詞還有「渠」。
區別僅在於「他」是遠處的人，相當於那個他； 我想找的是他，但只能找到渠。
「渠」是眼前的人，近處的人，相當於這個他。 我不能不逃離渠，又沒有辦法忘記他。
馬橋語言明智地區分他與渠，指示了遠在和近在的巨大差別。
指示了事實與描述的巨大差別，局外描述與現場事實的巨大差別。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 71.207.151.119