Re: [微積] 幾個無限觀念的問題

[TassTW (塔矢)]

這類困擾很常見, 原因是:

1. 數學上的無限是可以自圓其說的, 但是現實生活中沒有這種無限
   所以數學上計算的結果, 若對比到現實生活中出現了困擾, 往往是

   "假設一個現實生活中不可能的事情, 得到一個和直覺違背的結果"

   因為前提就不是現實生活中可能出現的現象了,
   所以無論他結論是什麼, 都不用覺得奇怪,

   例1
        如果進行無限次動作, 最後會怎麼
   例2
        如果我能在 2^{-k}, k→∞ 秒內做這個動作, 則之後會怎樣

2. 今天的情況又有點不一樣, 出題者自己答非所問, 亂寫一氣
   這題目的數學面很簡單, 定義以下集合

   E1 := {2, ..., 10}
   E2 := {3, ..., 20}
   .
   .
   .
   Ek := E_{k-1} ∪ {10*k-9, ..., 10*k} \ {k}

   F1 := {2, ..., 10}
   F2 := {2, ..., 10, 12, ... , 20}
   .
   .
   .
   Fk := F_{k-1} ∪ {10*k-8, ..., 10*k}

   一二題就是證明  lim Ek 和 lim Fk 存在 並求出他們是什麼

   是的, lim Ek 是空集合, 但你不能說 "最後" 箱子裡沒有球,
         lim Fk 是無限集, 但你不能說 "最後" 箱子裡有無限多顆球,

   因為在 "語言" 中, 我們覺得最後箱子裡有無限多顆球, 因為

   lim |Ek| = ∞, lim |Fk| = ∞

   但出題者自己算出 | lim Ek | = 0
   但自己不知道 | lim Ek | 和 lim |Ek| 的差別

*  無聊補充   這也可以用簡單的實分析語言來描述:

   定義函數 e_k(x) = 只在 Ek 內的點上取值為 1, 其餘為 0
   算其個數, 如同在 counting measure on (N, P(N)) 下積分

   | lim Ek | 和 lim |Ek| 便可改寫成 ∫ lim e_k 和 lim ∫ e_k

   此時函數 e_k(x) 是逐點收斂到 恆0函數 ,
   給了另一個 "逐點收斂不保證極限可遞入積分" 的例子

3. 第三題我之前錯看了, 做出了錯誤的論證
   感謝 LimSinE 學長指正

   數學式以及其推論是沒有錯的,
   任何"球"在"最後箱子"中的機率為 0
   因此這個 "最後箱子" 中沒有任何球

4. 最後補充一個我"討厭"的現象

   為什麼有"最後的箱子"?

   現行大家接受的說法是, 我們能定義的就是數學模型取極限
   即使中文當中"最後的箱子"不存在,
   也因為這是 適合對應數學模型取極限 的文句
   因而使用這個說法


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                   「我們愛星星至深無懼於黑暗。」

     "We have loved the stars too fondly to be fearful of the night."

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 71.207.151.119
推 weltschmerz :所以他這樣答案是正確的嗎？
推 weltschmerz :先感謝您認真看了並回我的問題
→ TassTW      :嗯, 我在文中回答你了 xD 希望你也認真讀一下
→ suhorng     :請問可以借轉嗎 ?
→ TassTW      :歡迎 :)
→ yhliu       :"集合之極限的元素個數" 與 "集合之元素個數的極限"
→ yhliu       :是不同的. 就 case 1 而言, 集合(序列)之極限是空集,
→ yhliu       :其元素個數是 0; 但集合序號中每一集合元素個數一直
→ yhliu       :在增長, 元素個數(序列)的極限是正無窮.y
→ yhliu       :就 case 3 而言, 單純用 "集合" 去看有點說不清楚,
→ yhliu       :因為每一階段箱中的球號都是隨機的結果.
※ 編輯: TassTW          來自: 71.207.151.119       (09/25 13:25)