Re: [機統] 變異數和組合

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《Ertkkpoo (water)》之銘言：
:                  2
: 2.  V(X)=E[(X-μ) ]   V代表變異數  E代表期望值  X代表間斷隨機變數
:                       μ代表母體平均數
: 這個該如何證明呢?
:             n
: 定義  E(X)=Σ  x f(x )      f(x ) 為機率函數
:            i=1  i   i          i
:             n        2
:       V(X)=Σ (x -μ)  f(x )     x 為隨機變量    X為隨機變數
:            i=1  i         i       i
: 不太能從這兩個公式去看其相聯的關係
: 謝謝大家


    我覺得原 po 有點問反了

         Δ
    E[X] ＝ Σ  x  P(X = x )           ____(1)  => 這個是   Definition
             i   i        i

           Δ         2
    Var(X) ＝ E[(X-μ) ]               ____(2)  => 這個是   Definition

                         2
            ＝ Σ (x -μ)  P(X = x )   ____(3)  => 這個才是 Theorem
                i   i             i




    有一個定理是:

  『
    If X ia a real r.v. with pdf f (x) , then the expected value
                                  X


    of Y = g(X) is:

                  ∞
          E[Y] = ∫   g(x)*f (x) dx    ,where g(.) is measurable
                  -∞       X
  』


    一般隨機變數方面的書不會證明這個 thm.

    因為需要實變那方面的知識才有辦法證明

    而那並非是機率所要 cover 的重點


    但那個 thm. 很重要且很常用到

    所以書上通常會提供不正規的論證 來讓讀者了解 thm. 所代表的涵意

    最常用的一招就是 M.V.T.:  P[x < X < x + Δx] ～ f (x)*Δx
                                                     X




    至於當 X 是 discrete r.v.

    其 pdf 可以看成是由 delta functions 組成

    利用上述的 thm. 再搭配 delta function 的一些 property

    可以直接類推  E[Y] = E[g(X)] 在 discrete 的 case  ( 也就是 (3)式 )



--------


    ps:
        (3) 式其實才是統計上較原始的 idea

        只是在前人們智慧的結晶 push 下

        定義會越來越 compatibility 和 generalization

        以上是我的看法


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◆ From: 140.113.211.139
→ yhliu       :(3) 式是離散型時的 definition, 就像 (1) 式一樣.
→ yhliu       :至於 p.d.f. 那個式子, 確實可以看成是一個 theorem,
→ yhliu       :但在初等課程, 是把它當做連續型時的 definition; 在
→ yhliu       :高等課程, 用 measure theory 的想法來定義期望值,
→ yhliu       :再藉由一些定理, 推出 based on p.d.f. 的積分式.
→ Enas        :LUS
推 Ertkkpoo    :因為我是高中學1.3為定義才會以為2是推導出的