Re: [中學] 有關數列的三個問題…

[ckchi (飄)]

※ 引述《wisely13 (two-6)》之銘言：
: ⒈設S={1,2,3,...,625},今從S中任取4個不同的數，按照從小到大的
:   順序排列成一個公比為正整數的等比數列，請問這樣的等比數列個
:   數有幾個？

4數成等比 => a,ar,ar^2,ar^3

先找r最大可以是多少
8^3 = 512 , 9^3 = 729
因此r可以為2~8 (r=1時4數相等,不合)

之後分別算各有幾個
算法為(以2為例)：

a*2^3 ≦ 625
a ≦ 78.125
因此r=2時 a可以為1~78 共78組

最後全加起來


: ⒉給定一個數列：2，0,1,0，進行如下的操作：對每一雙相鄰項做一
:   次減法，由右邊的數減去左邊的數，並且把所得的差插在這兩項之
:   間，當你完成第一輪操作時，產生了由7個數組成的新數列：2,-2,0,1,1,-1,0；
:   然後新數列再做第二輪相同的操作…，同樣的操作一直做下去，持
:   續做到第100輪，則最後呈現出來的數列其各項數值的總和為多少？

先思考，如果目前的數列為：  a   b   c   d   e
則下一輪加上的數為　　　：   b-a c-b d-c e-d
新的數列合-舊的數列合 = b-a + c-b + d-c + e-d = e-a
且a e永遠在數列的兩側

因此新數列合 = (2+0+1+0) + n*(0-2)    (n為操作回數)


: ⒊已知一個數列An，定義Sn=A1+A2+....+An，又Sn+An=n^2+3n，n≧1，試求An？

An = Sn - Sn-1 = n^2+3n-Sn
 => 2Sn - Sn-1 = n^2+3n
 => 2Sn = Sn-1 + n^2+3n
 =>  Sn = (Sn-1 + n^2+3n)/2

因此
S1=A1 = 4/2          =  2
S2    = (2+4+6)/2    =  6
S3    = (6+9+9)/2    = 12
S4    = (12+16+12)/2 = 20
S5    = (20+25+15)/2 = 30
S6    = (30+36+18)/2 = 42

觀察可以知道 Sn = n(n+1)  (可以用數學歸納法證明)

因此 An = Sn - Sn-1 = .....





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◆ From: 140.116.89.133
推 FAlin       :Q.2  16 24 36 54 r=1.5的話怎麼辦??
→ FAlin       :27 36 48 64 r=4/3也不包含在裡面@@
→ ckchi       :oops 是我沒考慮周詳
→ ckchi       :疑 不對啊
→ ckchi       :順序排列成一個公比為正整數的等比數列 <---
→ ckchi       :r=1.5和r=4/3不在題目問的範圍內
→ FAlin       :喔喔 我沒看清楚