作者ntust661 (XDeutesh)
看板Math
標題Re: [線代] Back-Cab rule 的證明
時間Tue Sep 27 01:43:09 2011
※ 引述《obelisk0114 (追風箏的孩子)》之銘言:
: Back-Cab rule :
: → → → → → → → → →
: A ×(B ×C) = B (A‧C) - C (A‧B)
: 如何證明?
預備已知
A ×(B ×C) 的向量落在 B 與 C 的展開的平面。
→ → → → →
故 A ×(B ×C) = αB + βC
→ → → → → → → →
A ‧{ A ×(B ×C) } = α(A‧B) + β(C‧A)
→ → → → → →
而因為 A ×B ×C 的向量既垂直 A 也垂直 B ×C
→ → → → → → → →
A ‧{ A ×(B ×C) } = α(A‧B) + β(C‧A) = 0
→ →
α = γ(A‧C)
→ →
β = -γ(A‧B)
→ → → → → → → → →
故 A ×(B ×C) = γ{(A‧C) B -(A‧B) C }
→ → → → → →
考慮 B ×(B ×C) = γ1{ (B‧C) B - (B‧B) C }
考慮大小 {B ×(B ×C)}‧C
2
= (C ×B)‧(B ×C) = γ1{ (B‧C) -(B‧B)(C‧C) }
2 2 2 2 2 2 2 2
= │B││C│sin φ = γ1 ( │B││C│ cos φ - │B││C│ )
γ1 = -1
故繼續證
B‧(A ×(B ×C)) = -B‧((B ×C) ×A)
= -(B ×(B ×C))‧A
→ → → → → → →
= -( (B‧C) B - (B‧B) C )‧A
= - (B‧C)(B‧A) + (B‧B)(C‧A)
比照 = γ{(A‧C)(B‧B) - (A‧B)(C‧B) }
γ = 1
故得證
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.161.120.11
推 obelisk0114 :謝謝 09/27 01:56
推 obelisk0114 :預備怎麼知道的? 09/28 01:33
→ yan12125 :因為他和B、C所在的平面的法向量垂直 09/28 21:31
推 LimSinE :前面得到左=gamma右,不能隨便代組向量去確定嗎? 09/30 13:33