Re: [工數] Direction field

[oNeChanPhile (親姐基)]

※ 引述《tanaka0826 (田中鬪莉王)》之銘言：
: Graph a direction field (by CAS or by hand). In the field graph several
: solution curves by hand, particulary those passing through the given points
: (x,y).
:                             yy' + 4x = 0   (1,1),(0,2)
: 我解出general solution是 4x^2 + y^2 = c,
: 應該是兩個橢圓，
: 我主要想問的是：
: 1.direction field是甚麼? 還有它的物理意義是?

嚴謹的東西我不敢講，
不過我可以沿用你給的例子來解釋一些觀念：


首先要提一下，
單變數一階微方，不論是否線性，解的一般形式為隱函數形式 g (x,y) = 0
                                                        c

注意上式未必能夠（也未必需要）寫成顯函數 y = f (x)
                                              c
                                                               2   2
並且帶有一個由邊界條件決定的參數 c（在你的例子就是 g (x,y) = 4x + y - c）
                                                    c





direction field 的物理觀點是這樣的：


假設一個物體被限制在 g (x,y) = 0 上運動，
                      c

則其位置向量 (x(t), y(t)) 必滿足 g (x,y) = 0 （廢話 XD）
                                  c

將物體所有可能的運動方向（即速度向量 (dx/dt, dy/dt) 的方向）

對每個 c 值、每個可能的點 (x,y) 作圖，就是 direction field。




上面的看法，究竟有什麼幾何意義呢？


把 g (x(t), y(t)) = 0 對 t 微分，運用 chain rule 可得
    c

  dx δg_c    dy δg_c      dx  dy     →
  ─ ─── + ─ ─── = ( ─, ─ )‧(▽g ) = 0
  dt  δx     dt  δy       dt  dt        c

       dx  dy      →
←→ ( ─, ─ ) ⊥ ▽g
       dt  dt         c

                           dx  dy
換言之， direction field ( ─, ─ ) 正是 g (x,y) = 0 的切線方向！！
                           dt  dt         c


因此，如果你所考慮的點(x,y)，位於某個 g (x,y) = 0 的圖形上
                                       c

那麼該 g (x,y) 的圖形必定是沿著 direction field 的方向走
        c

故 direction field 可以幫助我們猜測解集合的形狀。


看法可參考這個網頁的中間
http://www.math.ncyu.edu.tw/eode/inner/courses/1-3.htm

  「究竟我們學方向場要做什麼？它有什麼好呢？
    在還沒有解出之前，我們已可看出解曲線的形狀，
    而當微分方程特别難解時，方向場就很好用了。」




: 2.應該要怎麼畫? (還有有應用程式或軟體可以幫我做精確的圖嗎?)
: 謝謝Orz

(dx/dt, dy/dt) 的方向寫成非參數式就是 (1, dy/dx)

所以應該要怎麼畫？

step 1：對於空間中每一點(x,y)，計算滿足微分方程限制的 dy/dx，

step 2：把方向 (1, dy/dx) 畫在點 (x,y) 上頭。


在你的例子， y' = dy/dx = -4x/y

當 (x,y) = (1,1) 時，direction field 指向 (1, -4)。

                             2   2
注意這個方向正是 c=5 (橢圓 4x + y = 5) 的圖形在(x,y)=(1,1)之切線方向。


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.121.115.16
推 tanaka0826  :感謝解答Orz
→ oNeChanPhile:多變數微積分那邊的 level curve 有學好
→ oNeChanPhile:direction field 就不難....有需要的話去複習吧～
推 Frobenius   :推
推 ntust661    :推
※ 編輯: oNeChanPhile    來自: 114.27.8.196         (10/21 17:07)