推 folkontheshe:真有趣! 09/30 09:11
推 Nimrodel :原po的圖好專業!!! 09/30 10:10
推 diow1 : 感謝您 ! 揪 ...感心... 09/30 18:17
※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 114.27.8.196 (10/21 17:08)
※ 引述《diow1 ()》之銘言：
: 甲乙丙三人棋力相當,進行比賽,規則如下: 2人先下,輸的一人再由第三人
: 遞補與贏的下,依此規則一直持續下去,
: 現在-->>由甲乙兩人先下,乙獲勝,則最後由甲獲勝的機率 ?
這個賽制有趣的地方很多
首先
若沒有仔細算過
可能不會注意到這個賽制本身是不公平的
從第一回合開始的樹狀圖如下
回合1 2 3 4 5
A(1/4)
╱
AvC C(1/8)
╱ ＼ ／
╱ CvB B(1/16)
╱ ＼ ／
╱ BvA A(1/32)
╲ ＼ ／
╲ AvC
╲ B(1/4) ＼
╲ ╱ ...
BvC C(1/8)
＼ ／
CvA A(1/16)
＼ ／
AvB B(1/32)
＼ ／
BvC
＼
.......
由圖直接計算
A獲勝機率 = (1/4+1/32+....)+(1/16+1/128+...) (公比皆為1/8)
= 1/4 * 8/7 + 1/16 * 8/7
= 5/14
B獲勝機率 = 5/14
C獲勝機率 = 2/7
先打的兩位贏面較大！
直觀的解釋是，C一上場就有不能輸的壓力，一旦輸了比賽就結束了
但是A跟B還有等待的空間
因此情況對C的確是比較不利的。
假設自己是上場比賽的選手 便不難體會所謂「不能輸的壓力」
然後回到原本的問題
如果B已勝了第一場，則爾後的樹狀圖如下
B(1/2)
╱
BvC C(1/4)
＼ ／
CvA A(1/8)
＼ ／
AvB B(1/16)
＼ ／
BvC
＼
......
A獲勝機率 = 1/8 + 1/64 + ... = 1/8 * 8/7 = 1/7 ←本題答案
B獲勝機率 = 1/2 * 8/7 = 4/7
C獲勝機率 = 1/4 * 8/7 = 2/7
注意 B 若先勝一場，則不但與C的對決有一半機會，還有後續機會
因此勝率超過1/2當屬合理
C的勝率則與AB還沒對決之前相同 因為AB誰贏本來就與他無關
如果B輸了，則七分之4,2,1的順序就會如此輪替：
現在賽局中，打勝一場的選手為4/7，
挑戰者為2/7，
剛輸掉的人為1/7。
雖然就勝率而言，對C有些許不公，
但回合數無上限、且輸了之後仍有14.3%(不至於太小)的復活希望，
可以增加比賽的可看性
我想這也許是某些職業電競(例如以前的星海OSL)在三人互咬的時候
採用這種賽制的原因吧
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