Re: [分析] 一題 Frechet derivative

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 令 X = Y = C([0,1]), 定義 f: X --> Y, f(x)(t) = sin x(t), 0 ≦ t ≦ 1
: 證明： f^(k) (x) (h^k)(t) = g_k(x(t)) (h(t))^k,  k = 0,1,2,...
:                 d
: 其中 g_k(z) = (----)^k sinz
:                 dz
: 但若 X = Y = L^2([0,1])，則 f 處處不可微分。
: _______
: 十分感謝！
: 佳佳
感覺符號怪怪的
f'(x) 按定義應該是由 X --> Y 的 Linear maping, 也就是 f'(x) in L(X,Y)
而二階維分 f^(2)(x) 則是 in L(X,L(X,Y)) ，或者 L(X^2, Y)
f^(k)(x) 則是 in L(X^k, Y)
所以 f^(k) (x) (h^k)(t) 中 h^k 該如何解釋呢？

For k =1, 我們要證明
||sin(x+h) -sin(x) - cos(x)h|| /||h|| --> 0 as ||h|| --> 0        (1)
where ||x|| = sup|x(t)|
這應該不難證明

至於 如果取 X=Y=L^2([0,1])
重點則是要找出 h_n in L^2, ||h_n|| --> 0
但 (1) 不成立
這裡 ||x|| 用的是 L^2 - norm


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◆ From: 220.132.177.99
→ dogy007     :修正一下，應該說 找出 h_n in L^2, ||h_n|| --> 0
→ dogy007     :使得 ||sin(x+h) -sin(x) - Ah|| /||h|| --> 0
→ dogy007     :對所有 A in L(X,Y) 都不會成立
→ tiwsjia     :我猜 h^k 是 X^k 中的元素？
→ tiwsjia     :至於如何找 h_n 能否給些提示？感謝！
→ dogy007     :我仔細想了一下，似乎沒有那麼容易