→ THEJOY :鬃獅lemma? 09/30 15:09
※ 引述《JohnMash》之銘言：
: 請問一下...
: 等周長的多邊形 以正多邊形面積為最大嗎?
: 例如.....
: 任意等周長六邊型形中 以正六邊形面績最大嗎?
: 如何證明?
: 作者: JohnMash (Paul) 看板: Math
: 標題: Re: [證明] 幾題證明、排組請教大家
: 時間: Thu Sep 29 11:14:42 2011
: ※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: : 6.
: : 證明n邊形中 若周長相等 則 面積最大者為正n邊形
: 反證法
: 設ABC...H 為n邊形頂點 且它不是正n邊形
: 則至少有兩個邊 是不等長且相鄰
: 可設為 AB 及 BC
: 取B'為 AB'=B'C=(AB+BC)/2
: 則 AB'C...H 為n邊形 周長與 ABC...H 相等 但面積較大
: 得證
這個方法其實有一點邏輯上問題
你證明的是"如果一個n邊形不是正n邊形，則存在一個周長相等的n邊形面積比他大"
但是問題是，你沒有證明所有等周長的n邊形這個集合裡
存在一個n邊形他的面積是這個集合裡的所有n邊形裡最大的
這乍看之下好像很顯然，其實不是那麼trivial
所以你的解法還不足以證明原來的問題
要修補的話，可以選擇證明我上面說的問題，或是下面提供一個想法
要證明原來的問題，其實只要證明所有n邊形的面積都不超過同周長的正n邊形
大概的想法是這樣
假設周長固定是L，此時正n邊形的面積是T
考慮任何一個n邊形A_0，並假設他的面積是S_0
用Johnmash的調整相鄰邊長的方法
證明對任意ε>0，存在M_1(ε)，使得經過M_1(ε)步調整之後
新的n邊形A_{M_1(ε)}的任何一邊的長度l 都滿足|l-(L/n)|<ε
則S_0 <= S_1 <= ... <= S_{M_1(ε)}
然後同樣的對角度做Johnmash的調整，類似的可以得到一系列面積遞增的n邊形
會發現經過調整會越來越接近正n邊形，然後證明面積也會越來越接近T
最後用這個方法構造出一個遞增數列{S_i} 使得 S_k --> T when k -->∞
然後因為{S_i}遞增 所以S_0 <= T
中間會有一些有點麻煩的計算，不過概念上大概是這樣
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◆ From: 18.95.5.20