※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 令 X = Y = C([0,1]), 定義 f: X --> Y, f(x)(t) = sin x(t), 0 ≦ t ≦ 1
: 證明： f^(k) (x) (h^k)(t) = g_k(x(t)) (h(t))^k, k = 0,1,2,...
: d
: 其中 g_k(z) = (----)^k sinz
: dz
▓▓▓ 但若 X = Y = L^2([0,1])，則 f 處處不可微分。
: _______
: 十分感謝！
: 佳佳
也許會有其他板友提供簡單的方法,這邊是稍做分析
在我分析這 L^2([0,1])是只針對實數函數部分(g:[0,1]->|R )
分析看似很長,其實很簡單.
f is differentiable at g <=> f is differentiable at -g
(g在 L^2([0,1]) 裡)
───────────────────────────────
"假設 f is differentiable at the point g "
───────────────────────────────
Let k(t) = sin(g(t)) or -sin(g(t))
先分析看看下列這這種情形
Case 1:
Assume that there exists a positive number a > 0 so that
-1
m ( k ([a,1]) ) > 0 , m : Lebesgue measure
let E = E , Choose Ei (i≧2) such that
1
(i) Ei↘ (ii) m(Ei)>0 (iii) m(Ei)->0 as i->∞
( E 在 [0,1] 區間 ,{ E ∩[0,1/2] , E ∩[1/2,1] } , E 就選measure最大那個,
1 1 1 2
依次一直選下去 )
╴╴╴
Let h_n = 2πχ , s_n = h_n╱|| h_n || = χ ╱√ m(En)
En En
因為 lim || sin(g + h_n) － sin(g) － Λ(h_n) || ／ || h_n || = 0
n->∞
lim || Λ(h_n) || ／ || h_n || = 0
n->∞
=> lim || Λ(s_n) || = 0 ------------------(1)
n->∞
另一方面
╴╴╴
Let h_n = πχ , s_n = h_n╱|| h_n || = χ ╱√ m(En)
En En
|| sin(g + h_n) － sin(g) － Λ(h_n) || ／ || h_n ||
= || (sin(g+h_n) － sin(g)) ／|| h_n || － Λ(s_n) ||
因為 lim || sin(g+h_n) － sin(g) － Λ(h_n) || ／ || h_n || = 0
n->∞
和 (1)
所以 lim || sin(g+h_n) － sin(g) || ／ || h_n || = 0 --------(2)
n->∞
但是 ||sin(g+h_n) － sin(g)|| ╱ || h_n ||
＝ || 2sin(g)*χ || ╱ || h_n ||
En
╴╴╴ ╴╴╴
≧ 2a√ m(En) ∕ (π* √ m(En) )
＝ 2a ╱ π
這與 (2) 互相矛盾.
Case 2 :
k(t) is zero almost every where
產生 矛盾 的做法與 Case 1 一樣 .
因此 f:L^2([0,1])─>L^2([0,1]) 在每一點 g 都不可微分(Frechet derivative)
可能有什麼地方沒注意到有錯誤,麻煩指正!
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