推 rachel5566 :謝謝! 10/02 10:54
※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言：
: 這是在一個物理問題遇到的:
: x(t) = Acosωt + Bsinωt
: 已知 x(t_a) = x_a, x(t_b) = x_b
: 證明
: ┌ ┐
: t_b ｍ│╭ dx ╮2 2 2│ ｍω ┌ 2 2 ┐
: S = ∫ ─││ ─ │ －ω x │dt = ─────│(x_a + x_b )cosωT－2x_a x_b│
: t_a ２│╰ dt ╯ │ 2 sinωT └ ┘
: └ ┘
: T ≡ t_b－t_a
偷懶 設x(t) = D cos(ωt + θ) D,θ 常數
且設 α = ωt_a + θ, β = ωt_b + θ
則S = (m/2)∫ [(x')^2 -(ω x)^2] dt
= (m/2)(D^2)∫ {ω^2 *[sin(ωt + θ)]^2 - ω^2 *[cos(ωt + θ)]^2 }dt
= -(m/2)(D^2)(ω^2) ∫cos(2ωt + 2θ)dt
= -(m/2)(D^2)(ω/2) [sin(2β) - sin(2α)]
要證等於後面的式
等價要證 (1/2)sin(β-α)[sin(2β) - sin(2α)]
= [(cosα)^2 + (cosβ)^2 ] cos(β-α) - 2 cosα cosβ
展開比較一下就知道是成立的
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^^
('') ~我是可愛的兔子
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◆ From: 114.47.214.12