推 bdchu :懂了 謝謝 10/02 23:49
※ 引述《bdchu (yy)》之銘言：
: 在高三第一章 機統二裡面有提到一個式子
: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)...(1)
: 如果丟一顆骰子的點數期望值是 7/2，變異數為 35/12
: 那麼丟兩個骰子的點數和期望值就是 7，變異數為 35/6 (35/12+35/12)
: 但我想知道怎麼證明(1)式？？
利用定義Var(Z)=E[Z^2]-E(Z)^2 , 取Z=X+Y,
則Var(X+Y)=E[(X+Y)^2]-E(X+Y)^2
=E[X^2+Y^2+2XY]-[E(X)^2+E(Y)^2+2E(X)E(Y)]
={E(X^2)-E(X)^2}+{E(Y^2)-E(Y)^2}+2{E(XY)-E(X)E(Y)}
=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) #
( 其中, Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y), 故Cov(X,X)=E(X^2)-E(X)^2=Var(X) )
: 另一個問題就是
: 如果(1)式中的Y用X代 Var(X+X)=Var(X)+Var(X)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~這邊出現了問題,
如果同樣使用X, 則兩個X是相同的隨機變數, 並非獨立.
(例. 左邊X=1時, 同時右邊X=1, 並非獨立出現1~6)
所以正確的寫法應該是Var(X+X)=Var(X)+Var(X)+2Cov(X,X)
=Var(X)+Var(X)+2Var(X)
=4Var(X)
: Var(2X)=2Var(X)
: 但如果骰子的點數都變成2倍
: Var應該變成4倍才是？？
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