[微積] lim sin(x)/x

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

    #1EY71w0u  □ [微積] 有一題證明題 有人可以幫我嗎?



    因為看到這篇文章中版主大大的推文

    想提出一個看法和一個疑惑點


  <1>

   『                                       sin(x)
     能不能用   L'Hopital's rule  解   lim  ───  ?
                                       x→0   x       』


    我認為可以

    理由是考慮以下兩個命題 :


        『  d
     A:   ── sin(x) = cos(x)
           dx                  』


        『     sin(x)
     B:   lim  ─── = 1
          x→0   x        』



    接著

      " A→B "  是 true ,  因為  L'Hopital's rule + lim 性質

      " B→A "  是 true ,  因為  三角函數的和角公式 + lim 性質


    所以可推論出  A iff B

    因此只要利用以上結論之外的其它任何推論

    可以論證出  "A 是 true"  或  "B 是 true"

    那就代表命題 A 和 B 皆為 true




    例如 用了一些方法 (像是 Squeeze thm.) 證明 B 是 true

         且 "B→A" 的推論也知道了

         那用  L'Hopital's rule  來補 "A→B" 那塊的真偽我認為沒甚麼不行



         當然在邏輯上

　　　　 自己都已經知道 B 為 true

         用 A→B 來得到 B 的真偽蠻畫蛇添足的



--------------


 <2>

    話是這麼說

    但有個讓我 confuse 的點

    那就是我上網有查到一篇資料:

http://johnmayhk.wordpress.com/2010/02/27/circular-argument-on-sinx-over-x/


                        sin(x)
    上面寫說證明   lim  ─── = 1    本身就會犯 循環論證
                   x→0   x


    原因是考慮以下兩命題 :



        『     sin(x)
     B:   lim  ─── = 1
          x→0   x        』


        『                        2
     C:    半徑為 r 的圓面積 = πr
                                   』


     "C→B"  和  "B→C"  可以很簡單就推論出是 true

     但問題是怎麼證明  "B 是 true"  或  "C 是 true" ?



     或是有沒有辦法不利用圓面積公式

     證明出  sin(x) < x < tan(x)  if  0<x<π/2 ?


     或是有其它方式可以證明命題 B 是對的 ?




     因為以前不會想那麼細

     所以很想把這一塊的思路整理清楚

     麻煩大家解惑一下

     多謝～

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.139
→ Sfly        :這個lim= sin(x)在 0的微分..你要說是羅必達也行
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.211.139      (10/04 08:24)
→ dogy007     :問題的重點是整個體系發展的順序
→ dogy007     :首先是你如何定義 sinx
→ dogy007     :接下來是如何求得 lim sinx/x
→ dogy007     :一般微積分課本並未嚴格定義 sin x
→ dogy007     :或者使用直角三角形或單位圓定義 sinx
→ dogy007     :然後證明 lim sinx/x = 1
→ dogy007     :接著利用這個極限去證明 sinx 的微分
→ dogy007     :在這種順序下，不可用 L'Hospital 算 lim sinx/x
→ dogy007     :另外一個許多人沒注意到的部分是算 limsinx/x
→ dogy007     :如果用圓面積公式，那也要小心
→ dogy007     :因為圓面積可能是用三角函數積分得到
→ dogy007     :這又是循環論證
→ doom8199    :這樣問題來了，若照樓上大大所說
→ doom8199    :"B is true", "B→A is true" , 代表 A B 皆 ture
→ doom8199    :因此"以這樣的順序下"，做 "A→B" 這件事情
→ doom8199    :應該也要是 true, 為何不能做?
→ doom8199    :To Sfly大大: 您的意思是 sin'(0) 等價於羅必達嗎@@?
推 jacky7987   :可是如果當初sin(x)是用e^{ix}來定義的話
→ jacky7987   :這樣的情況是不是就可以解除?
→ dogy007     :我記得以前看 Serge Lang 的分析學(?Analysis 1)
→ dogy007     :她是直接用泰勒級數來定義 sin x
→ dogy007     :這樣的確可以避開循環論證
→ dogy007     :不過能這樣教大一微積分嗎?
→ jacky7987   :可能得先學到級數和 再用逐項微分來避開?
→ jacky7987   :因為sinx的級數和除以一個x是簡單的事情?
→ jacky7987   :sinx的微分也可以透過逐項微分?
→ jacky7987   :能不能教給大一微積分可能得後面一點了XDDD
推 dogy007     :用級數定義 sin x 的麻煩之處在於許多東西要證明
→ dogy007     :比如說 sinx 為角 x 對邊除以斜邊也要證
→ dogy007     :弧長公式也要證明
→ dogy007     :另一個可能定義為用積分定義 arcsinx
→ dogy007     :然後定義 sinx
→ goshfju     :看怎麼定義吧 但大多的書在導 d/dx sinx=cosx 時
→ goshfju     :都利用這個極限 所以無法使用L'Hospital
→ Sfly        :當分母恰好是 x, 而x-->0, 則羅必達等同原點微分值
→ Sfly        :  (當然分子微分之後要在原點連續)
→ plover      :可以證明一下 L'Hopital's rule 嗎?
→ yhliu       :依 Sfly 的意思, f'(x)=lim_{h→0}(f(x+h)-f(x))/h
→ yhliu       :不是導數定義, 而是 l'Hopital's rule 的結果?