Re: [微積] lim sin(x)/x

[dogy007 (dogy007)]

首先我們 採用一般的三角函數定義, pi 為半圓周長
令 A(x) 為 角度 x 的扇形面積，我們不能使用 A(x) = x/2
因為上式的推導用到 lim sinx/x = 1(參見原 post 引用的連結)
但我們知道 A(x) 為 x 的嚴格遞增函數 for 0 < x < 2pi
同時如果 0 < nx < 2pi, n 為自然數
則藉由分割 扇形 n 等分，我們知道 A(nx) = nA(x)
同樣的 A(x/m) = A(x)/m ,  for 自然數 m
所以 A(nx/m) = nA(x/m) = (n/m)A(x)
也就是 A(rx) = rA(x) 對於有理數 r, 0 < rx < 2pi
對於 實數 s, 0 < sx < 2pi
對於任意, 有理數 q,r,  0 < r < s < q , 滿足 0 < rx < sx < qx < 2pi
我們有 rA(x) = A(rx) < A(sx) < A(qx) = qA(x)
但這表示 A(sx) = sA(x) 對於滿足 0 < sx < 2pi 的任意實數 s 成立
所以 A(x) = A((x/pi)pi) = (x/pi) A(pi)
令 b = A(pi)/pi, 則 A(x) = bx
然後利用面積比較, 我們 sinx /2 < A(x) < tanx /2
所以 sinx < 2bx < tanx
所以 2bcosx < sinx /x < 2b
所以  lim sinx /x = 2b
由此可以推導 三角函數的微分公式, (sinx)' = 2b cosx, (cosx)' = -2bsinx
然後考慮半圓周 (cost,sint), 0 <= t <= pi
計算半圓周長為
 Integral_{0 to pi} sqrt( ((cost)')^2 + ((sint)')^2 ) dt
= Integral_{0 to pi} 2b dt
= 2b pi
但 半圓周長為 pi, 所以 2b =1
也就是 lim sinx/x = 1

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◆ From: 220.132.177.99
推 doom8199    :大概知道想法了，多謝︿︿
→ doom8199    :另外可以請問一下若用尋常的 polygon 來逼近弧長
→ doom8199    :好像還是避不開 lim sinx/x
→ doom8199    :但是用弧長公式算卻沒這困擾，關鍵是因為均值定理嗎?
→ dogy007     :對沒錯，避不開
→ dogy007     :關鍵在於 pi 的定義、弧長的定義
→ dogy007     :當我們用弧長的定義來定義 pi
→ dogy007     :然後又用這個來定義角度、sin x 時
→ dogy007     :其實應該就 imply lim sin x /x = 1