※ 引述《jlt (藍之戀)》之銘言：
: 麵包店對一特定麵包的需求量分配如下：
: 需求量 0 100 200 300 400
: ------------------------------------
: 機 率 0.15 0.25 0.3 0.15 0.15
: 若每個麵包成本4元，每個售價20元，沒售完隔天就要丟棄。試問
: 到底生產100個,200個,300個,400個的哪種數量才能有最大獲利？
: Ans:300個
: 可否麻煩大大解釋該怎麼解題！
: 感恩啊～～～:D
設生產 a 個麵包.
需求量 X<a 時, 損失 4(a-X).
需求量 X>a 時, 少賺 16(X-a).
少賺也是一種損失.
因此, 期望損失為
令
Σ 4(a-x)p(x) + Σ16(x-a)p(x) == φ(a)
x<a x>a
式中 p(x) 是需求量為 x 的機率.
注意 φ(a) 視為 a 的函數, 是一個折線函數.
當 a 小時, 斜率是負的,
當 a 大時, 斜率是正的.
φ(a)的最低點在斜率由負變正的地方, 即
Σ4p(x) - Σ16p(x) = 4P[X<a]-16P[X>a]
x<a x>a
= 4P[X<a]-16(1-P[X≦a])
= 20P[X<a]+16P[X=a]-16
變號的地方. 即找 a 使
P[X<a] ≦ 4/5 ≦ P[X≦a]
結果發現 a=300 滿足條件.
[驗證]
a 取 200 時, 期望利潤是
(-4)*(200-0)*0.15+[(-4)*(200-100)+16*100]*0.25
+ 16*200*0.6 = 2100
或: (-4)*200+20*100*0.25+20*200*0.6 = 2100
a 取 300 時, 期望利潤是
(-4)*(300-0)*0.15+[(-4)*(300-100)+16*100]*0.25
+[(-4)*(300-200)+16*200]*0.3+16*300*0.3 = 2300
或 (-4)*300+20*100*0.25+20*200*0.3+20*300*0.3 = 2300
a 取 400 時, 期望利潤是
(-4)*(400-0)*0.15+[(-4)*(400-100)+16*100]*0.25
+[(-4)*(400-200)+16*200]*0.3
+[(-4)*(400-300)+16*300]*0.15+16*400*0.15 = 2200
或
(-4)*400+20*100*0.25+20*200*0.3+20*300*0.15
+20*400*0.15 = 2200.
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