推 n19860423 :老師好~ 10/06 21:10
推 gogosk8 :感謝老師的回答,太感激了！！！ 10/06 21:51
※ 引述《gogosk8 (小郭)》之銘言：
: Rudin的 Principle of Mathematical Analysis
: 問題1: Rudin ch10 Thm.10.9(change of variables)(p.252)的證明
: Proof的第一段
: 為什麼 T是 primitive C1-mapping 的話,change of variables那公式會成立？
: ps.不知道需不需把問題貼出來？
: 問題2： Rudin ch10 p.248~p.249
: Primitive mapping 在哪邊可以找到這種mapping 的介紹？
: 連wiki都沒有！！
: Thm. 10.7（p.249）雖然會證了,可是沒啥感覺?
: 其他高微的書好像也沒有提到Primitive mapping
: 這樣兩個想超久的
: 請高手指點迷津,感激不盡阿～～～
: 順便問一下
: Rudin 第十章是不是很少人讀阿?
: 我聽到比較多的是都讀1~9章
: 我會想讀是因為台大的參考書書評,高微的部份,有提及這章值得一讀.
回答你的兩個問題：
問題 2: Primitive mapping 的定義就在該書 p.248 的 Definition 10.5.
意思就是指只改變一個坐標的變換
(x_1, x_2, ..., x_m, ..., x_n) -> (x_1, x_2, ..., g(x), ..., x_n)
然後 Theorem 10.7 證明的是一般的 invertible C^1 mapping 可以寫成
一連串 primitive mappings 和 flips 的合成。利用這個分解定理來證明
Theorem 10.9 的 change of variables.
註：這個 primitive mapping 的名稱應是 Rudin 自己取的。
問題 1: 當 T 是 C^1 的 primitive mapping 時，利用連續函數積分的 Fubini
定理，可知我們可以先積分被改變的那一個坐標，於是成為單變數的積分
要有 du = u' dx (Theorem 6.17) 的效果。這在該頁 p.252 (31) 式所
接的那段討論中有說明。
順便回答一下：我這幾年教 Rudin 的高微，下學期期末考前就是教完 Theorem 10.9.
後面的部份就留給微分幾何與實變課去處理。
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威探闖通關 羅傑兔寶寶
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