Re: [微積] Incomplete gamma function Γ(x,1)

[wickeday (WickeDay)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
:            ∞
: Γ(x,1) = ∫ t^(x-1) * e^(-t) dt , x€real number
:            1

Lemma: Let f(x,y) be C^1 on [a,b]x[c,∞). If

          ∞
         ∫ f_x dy converges uniformly,
          c

       then

         d    ∞        ∞
        ---- ∫ f dy = ∫ f_x dy.
         dx   c         c

 <pf>  那個瑕積分均勻收斂的意思是積分在 [c,N] 上會均勻收斂到 [c,∞)
       有點懶得打，不過不難證
       雖然結論是微分積分可以交換
       但證明其實是證兩個積分可以交換（最後一行兩邊對 x 積分）
       自己試一試，有些高微的書應該也有

再來這題把積分 [0,1] 的部份去掉了，所以非常好驗證這樣
應該用 ln(t) < t 就可以了？



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◆ From: 111.250.101.32
※ 編輯: wickeday        來自: 111.250.101.32       (10/09 00:01)
推 znmkhxrw    :條件不用f的瑕積分存在嗎???
→ znmkhxrw    :只要偏導數在[a,b]是均勻收斂就好??
→ wickeday    :其實我不是很確定XD 看看證明裡需不需要吧
→ wickeday    :至少在這題f的瑕積分是一定存在拉(而且均勻收斂)
推 jacky7987   :我想應該要加上去吧f和f_x的瑕積分存在
→ jacky7987   :且均勻收斂