Re: [中學] 類似柯西題目

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《nissanj (nissan)》之銘言：
: 題目條件~
: a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
: a+b+c=7
: 求3a+2b+c=?
: 答案是14....
: 我試圖用過柯西不等式但是算出來的答案不對....
: 有請各位神人幫忙了~
: 感謝~

設 3a+2b+c = k
與 a+b+c = 7 聯立, 得
  b = k-7-2a
  c = 14-k+a
代入第一式:
  0 = a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
    = (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)
    = 49-3[a(k-7-2a)+(k-7-2a)(14-k+a)+a(14-k+a)]
    = 9a^2 + a(84-9k) + (343-63k+3k^3)
a 是實數, 故
  (84-9k)^2 ≧ 36(343-63k+3k^2)
即
  k^2-28k+196 ≦ 0
唯一解 k=14.


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◆ From: 125.233.158.253
→ yhliu       :qq007的答 a=b=c 是對的. 但愚笨的我實在看不出想不
→ yhliu       :通為什麼由 a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca 就能肯定 a=b=c.
→ yhliu       :因此, 用上述最笨的方法來解題.
→ someone     :樓上客氣了  有時候高手高太久會忘掉當初的奇技淫巧
→ someone     :兩邊同乘2，再移項整理成 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
→ someone     :通常應該也不太去考慮複數的狀況  所以a=b,b=c,c=a
→ someone     :因此a=b=c是這樣來的