Re: [中學] 類似柯西題目

[litturtle (龜龜)]

※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言：
: ※ 引述《nissanj (nissan)》之銘言：
: : 題目條件~
: : a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
: : a+b+c=7
: : 求3a+2b+c=?
: : 答案是14....
: : 我試圖用過柯西不等式但是算出來的答案不對....
: : 有請各位神人幫忙了~
: : 感謝~
: 設 3a+2b+c = k
: 與 a+b+c = 7 聯立, 得
:   b = k-7-2a
:   c = 14-k+a
: 代入第一式:
:   0 = a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
:     = (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)
:     = 49-3[a(k-7-2a)+(k-7-2a)(14-k+a)+a(14-k+a)]
:     = 9a^2 + a(84-9k) + (343-63k+3k^3)
: a 是實數, 故
:   (84-9k)^2 ≧ 36(343-63k+3k^2)
: 即
:   k^2-28k+196 ≦ 0
: 唯一解 k=14.


回一下為何a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca可得a=b=c的原因

2(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)
可分開看成 a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0
整理可得   (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
便可推得   a=b=c

以上提供個人的小想法，謝謝。

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我對神說：讓我所有朋友永遠健康快樂~！    神說：只能四天~！
我說：好春天、夏天、秋天、冬天。         神說：三天。
我說：好，昨天、今天、明天。             神說：不行，兩天。
我說：好，白天、黑天。                   神說：不行，就一天~！
我說：好~!   神茫然問到：哪一天？我說：在我文章推文的所有朋友生活著的每一天~！
神哭了……說：以後在你文章裡推文的所有朋友將天天健康快樂~！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.46.125
→ yhliu       :聰明人得聰明解法, 愚笨人只能用笨解法.
→ yhliu       :這就像 1+2+...+100, 我是那個只能一項一項加的人.
※ 編輯: litturtle       來自: 140.122.46.125       (10/09 10:41)
推 dogy007     :我是怪人，所以搞怪，原 post 並沒有說a,b,c 是實數
→ dogy007     :所以上面所有作法都不對，14 也不是正確答案