推 Enas :清晰 good 10/10 21:30
※ 引述《eri820503 (money)》之銘言：
: 1.
: Prove that lim x^1/2 = a^1/2 if a>0
x->a
: [ Hint: Use |x^1/2 - a^1/2| = |x-a|/x^1/2 + a^1/2.]
順他的 hint 往下做, 對於每個給定的ε > 0, 我們是要讓
|x - a|
|x^1/2 - a^1/2| = ----------------- < ε
|x^1/2 + a^1/2|
對所有的 0 < |x - a| < δ.
注意到黃色的那兩部份相同, 所以待處理算式的分子是簡單的,
我們可以任意限制他在我們的 δ. 但是分母比較麻煩, 所以要想辦法限制住他.
我們知道當 0 < |x - a| < δ 時, a－δ < x < a＋δ,
所以我們若限制 δ 在一個小的範圍內, x^1/2 的範圍也就被限制住了
那現在就來嘗試. 實驗證明當 δ 不超過 a 的時候 0 < x^1/2 < (2a)^1/2
這個時候分母 > a^1/2, 也就是 1/|x^1/2 + a^1/2| < 1/a^1/2
所以若取 δ = min{ a, ε(a^1/2) }
則當 0 < |x - a| < δ 的時候
|x - a|
|x^1/2 - a^1/2| = ----------------- < ε(a^1/2) * 1/(a^1/2) = ε.
|x^1/2 + a^1/2|
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