→ yhliu :考慮 a_n = n(n-1)...(n-k+1) 時的 a_1+a_2+...+a_n. 10/13 21:43
最近讀一本線代，作者用求前n項k次方和作引言
整個過程推理下來都沒多大問題，不過有個假設我有點疑問，所以PO在這裡請大家看看
麻煩指點我的迷津，謝謝
--------------------------------課文---------------------------------------
已知數列通項公式u_n = n^k,求前n項和S_n,這很困難. 反過來,已知前n項和S_n
求u_n卻很容易：u_n = S_n - S_{n+1} (當n大於等於2),u_1 = 1.
如果將S_n看成n的函數S_n = f(n),則上述等式就是函數f(n)應當滿足
f(n) - f(n-1) = u_n = n^k (for n 大於等於2) , f(1) = 1
不難想到,如果f(n)是n的多項式函數,則f(n) - f(n-1) 也是多項式函數,並且
次數比f(n)低一次...
--------------------------------結束--------------------------------------
接下來作者就是用待定係數法+解線性方程推出前n項k次方和的公式
我的問題是，在課文中說【如果f(n)是n的多項式函數...】,我們的結果是由這假設
推得的,但怎知這假設對不對?如果這假設本來就有問題，那推出來的結果應該也不對！？
我自己想，如果要驗證假設是否正確，是否是去用數學歸納法證明我們所得的結果
真的就是前n項k次方和。例如說，我們用了這方法得到前n項平方和的公式是
n(n+1)(2n+1)
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但我還不算知道這是否正確，所以我用數學歸納法去證明它的確是前n項平方和的公式，
結果對了，那這就說明我原來的假設【如果f(n)是n的多項式函數...】是正確的
這是我自己的想法，不過沒人可以討論，因此麻煩大家幫我看看，謝謝。
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※ 編輯: pentiumevo 來自: 140.114.32.67 (10/13 16:59)
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