推 chy1010 :解 2x=4 <=> x=2 這個寫的時候是 if and only if 吧 10/14 01:18
如果做答時，是寫 ：
2x=4 <=> x=2， Ans:解為 2。
那麼自然就是有注意到要帶回去驗算這件事了。
我的意思是說，在很多課堂教學的時候（甚或 paper 上的字句），
是不會特別去寫或驗算 "<=" 這個方向（因為很trivial，就只是代一下）；
但邏輯上，這是要做的事，大多時候，就是讀者心裡run一下，沒寫出來這樣。
比方說google:解方程式
http://tinyurl.com/44p8g3r
第三個頁面
http://tinyurl.com/44wpgjj
【範例1】求2x^2+1=5x-1 的解。
【解】 利用移項可把原方程式改寫為 2x^2-5x+2 = 0。
由因式分解，可得 (2x^2-5x+2) = (2x-1)(x-2)
因此，原方程式改寫為 (2x-1)(x-2) = 0
所以，可得 2x-1=0 或 x-2=0
即 x=1/2 或 x=2。
這邊他的到數第二行的寫法，就是本文所說的：只寫 "=>" 這個方向。
當然在環裡面，a=0 或 b=0，自然可以得到 ab=0，
但文字的邏輯上來看，這個範例裡的敘述僅寫到
(2x-1)(x-2) = 0 => 2x-1=0 或 x-2=0
不過，也有一些時候，"<=" 不是那麼trivial的時候，就會弄一下，
比方說這篇原PO，提到的（用數學歸納法 或者 其他什麼方法的之類的）
驗證 f(n) 的確是個多項式函數解。
不過，就直覺上來看，這邊用數學歸納法應該是有點閃神繞路了的感覺，
我直觀上的感覺是，原PO，你這個部份的論證結構應該是這樣的：
求 f(n) <=>（等價於） 待定係數法+線性方程 Problem
解後面的等價 problem => f(n)=ooxx
所以應該把 f(n)=ooxx 代入線性方程，看是不是解即可；
（所以應該是個trivial，可以快速解決的動作，）
當然 求f(n) <=>（等價於） 待定係數法+線性方程 Problem
這個等價的轉換要建立起來。
你那個東西的內容，我是沒翻來細究，所以原PO你自己再看一下，我上面這段通不通；
我想應該是不用 用到數學歸納法來弄。
※ 編輯: Eeon 來自: 182.235.180.107 (10/14 02:52)
※ 引述《pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)》之銘言：
: 最近讀一本線代，作者用求前n項k次方和作引言
: 整個過程推理下來都沒多大問題，不過有個假設我有點疑問，所以PO在這裡請大家看看
: 麻煩指點我的迷津，謝謝
: --------------------------------課文---------------------------------------
: 已知數列通項公式u_n = n^k,求前n項和S_n,這很困難. 反過來,已知前n項和S_n
: 求u_n卻很容易：u_n = S_n - S_{n+1} (當n大於等於2),u_1 = 1.
: 如果將S_n看成n的函數S_n = f(n),則上述等式就是函數f(n)應當滿足
: f(n) - f(n-1) = u_n = n^k (for n 大於等於2) , f(1) = 1
: 不難想到,如果f(n)是n的多項式函數,則f(n) - f(n-1) 也是多項式函數,並且
: 次數比f(n)低一次...
: --------------------------------結束--------------------------------------
: 接下來作者就是用待定係數法+解線性方程推出前n項k次方和的公式
: 我的問題是，在課文中說【如果f(n)是n的多項式函數...】,我們的結果是由這假設
: 推得的,但怎知這假設對不對?如果這假設本來就有問題，那推出來的結果應該也不對！？
: 我自己想，如果要驗證假設是否正確，是否是去用數學歸納法證明我們所得的結果
: 真的就是前n項k次方和。例如說，我們用了這方法得到前n項平方和的公式是
: n(n+1)(2n+1)
: ----------------
: 6
: 但我還不算知道這是否正確，所以我用數學歸納法去證明它的確是前n項平方和的公式，
: 結果對了，那這就說明我原來的假設【如果f(n)是n的多項式函數...】是正確的
: 這是我自己的想法，不過沒人可以討論，因此麻煩大家幫我看看，謝謝。
我們用邏輯的語言來把事情弄得比較透徹一點；
前半部做的事是證明這個推論：
If f(n) is a polynomimal solution, then f(n)=ooxx.
但是 邏輯上而言， "p則q 這個推論成立" 無法得出 "q則p 這個推論成立"。
顯而易見地，只有 "p則q 這個推論成立" 這件事，也無法對 p 的真假有什麼約束力。
你這個例子中的 p 是 "f(n) is a polynomimal solution" 這個敘述。
q 則是 "f(n)=ooxx" 這個敘述。
套入上段的邏輯語言，
即使我們證明了 If f(n) is a polynomimal solution, then f(n)=ooxx. 這個推論，
不代表證明了 If f(n) = ooxx, then f(n) is a polynomial solution. 這個推論；
所以邏輯上而言，的確是如你所說的，再解出 f(n)=ooxx 後，
我們還要使用其他的方式來證明下方這個推論：
If f(n)=ooxx, then f(n) is a polynomimal solution.
If f(n) is a polynomimal solution, then f(n)=ooxx. 這個推論成立無法得到
If f(n) is a solution, then f(n) is a polynomial. 這推論成立。
（此即是你的疑問點之一。）
當然如果你可以用另外的方法證明
If f(n) is a solution, then f(n) is a polynomial. 這個推論也成立的話，
那麼從邏輯上，很基本的三段論證的應用：
（"p則q，q則 r"兩推論皆成立，可得出" p則r"這推論成立），
可以推得 If f(n) is solution, then f(n)=ooxx，這個推論成立。
我們可以舉一個更基礎的例子來做討論：
在實數系內，解方程式： 2x=4 。
一般國中生的做答會是這樣的：
兩邊同乘 二分之一，得到 x=2. 然後 Ans: 2.
但是如前面數段所說，
這樣的過程事實上，只證明了 If 2x=4, then x=2.
並沒有證明 2 就是解這件事，嚴謹的做答內容，要再加上一句：
因為 二乘二的確等於四，故此方程式的實數解為 2。
國中生的課程，大概也不會去太過要求後面這個驗算要寫，
一來，這是屬於比較邏輯性的動作，國中生邏輯觀念沒那麼強；
二來，為了避免國中生思考力不足，分注意力在這種邏輯上，造成失焦；
所以常常老師授課或者課程參考書也不會特別提這種驗算的事，就直接 Ans:2 了。
在大多數的找一些符合特定條的解的情況下，
If A is a solution, then A=ooxx. 證明這個推論是比較難，
操作上比較有值得討論的部份。
If A=ooxx, then A is a solution. 證明這個推論的難度，跟上面那個推論比，
相較之下，大多數則都是 trivial 的。
所以很多時候，後者這個驗算動作，就被忽略掉了。
但注意的，邏輯上，這還是必須的，
只是因為太trivial了，（比方說上面的：2 X 2 = 4）
所以很多時候，不會特別去寫驗算的動作。
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※ 編輯: Eeon 來自: 182.235.180.107 (10/14 00:50)