※ 引述《pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)》之銘言：
: 最近讀一本線代，作者用求前n項k次方和作引言
: 整個過程推理下來都沒多大問題，不過有個假設我有點疑問，所以PO在這裡請大家看看
: 麻煩指點我的迷津，謝謝
: --------------------------------課文---------------------------------------
: 已知數列通項公式u_n = n^k,求前n項和S_n,這很困難. 反過來,已知前n項和S_n
: 求u_n卻很容易：u_n = S_n - S_{n+1} (當n大於等於2),u_1 = 1.
: 如果將S_n看成n的函數S_n = f(n),則上述等式就是函數f(n)應當滿足
: f(n) - f(n-1) = u_n = n^k (for n 大於等於2) , f(1) = 1
: 不難想到,如果f(n)是n的多項式函數,則f(n) - f(n-1) 也是多項式函數,並且
: 次數比f(n)低一次...
: --------------------------------結束--------------------------------------
假設 S_n 是 n 的 k+1 階多項式函數, 則 S_n-S_{n-1}
是 n 的 k 階多項式函數, 這是對的.
不過, 這並不能直接說明:
若 S_n-S_{n-1} = n^k 則 S_n 是 n 的 k+1 階多項式.
雖然, S_n 確實是 n 的 k+1 階多項式.
因此, 需要另外證明 -- 就像證明反導函數的唯一性一樣.
[Lemma 1]
若 S_n - S_{n-1} = 0, n=1,2,...
則 S_n = C (一個常數), n=0,1,2,...
[證]
由數學歸納法得證
S_n = S_0, n=1,2,...
▌
[Lemma 2]
設 S_n - S_0 = a_1+...+a_n, n=1,2,...
T_n - T_0 = b_1+...+b_n, n=1,2,...
若 a_n=b_n, n=1,2,...
則 S_n-T_n = 某個常數 C, n=1,2,...
[證]
令 U_n = S_n-T_n, n=0,1,2,...
則得
U_n - U_{n-1} = (S_n-S_{n-1})-(T_n-T_{n-1})
= a_n - b_n = 0, n=1,2,...
故, 由 Lemma 1,
S_n - T_n = U_n = 某常數 C, n=0,1,2,...
▌
[Result]
若 a_n = n^k, n=1,2,...
則 a_1+...+a_n 是 n 的 k+1 階多項式.
[證]
令 S_n = a_1+...+a_n.
假設 S_n 可表示為 n 的 k+1 階多項式, 令
S_n = c_{k+1}*n^{k+1}+...+c_1*n+c_0
則
a_n = n^k = S_n-S_{n-1}
= c_{k+1}*(n^{k+1}-(n-1)^{k+1})
+ ... + c_1, n=1,2,...
可證得 c_{k+1},...,c_1 等係數存在(且唯一).
這表示: 確實存在一個 k+1 階多項式 f(n) 使
f(n)-f(n-1) = n^k, n=1,2,...
而 S_n 與 f_n, 由 Lemma 2, 只差一個常數.
因此, S_n = f(n)+某常數, 也是一個 k+1 階多項式.
▌
[另證]
(1) 考慮 b_n = n(n-1)...(n-k+1), n=1,2,...
注意 b_n 可表示為
[(n+1)n(n-1)...(n-k+1)-n(n-1)(n-2)...(n-k)]
b_n = ---------------------------------------------
k + 1
因此得
b_1+b_2+...+b_n = (n+1)n(n-1)...(n-k+1)/(k+1).
(2) 將上述 b_n 改寫成 b(n,k), k=1,2,...
則: a_n = n^k 是 b(n,k), b(n,k-1),...b(n,1) 的
線性組合, 即: 存在係數 t_k, t_{k-1},...,t_1,使
a_n = n_k = t_k*b(n,k)+...+t_1*b(n,1), n=1,2,...
例如
n^2 = n(n-1)+n;
n^3 = n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n.
由(1), 得
a_1+...+a_n = t_k*(b(1,k)+b(2,k)+...+b(n,k))
+...+t_1*(b(1,1)+...+b(n,1))
= [t_k/(k+1)]*b(n+1,k+1)+...+(t_1/2)*b(n+1,2)
由於 b(n+1,r) 是 n 的 r 階多項式, 又由多項式的
加法性質, 得證 a_1+...+a_n 是 n 的 k+1 階多項式.
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