推 enjoylife66 :謝謝你,真是詳細 10/14 10:45
※ 引述《enjoylife66 (老粗)》之銘言：
: x(n)=10*(0.5)^n*cos(0.2*pi*n)*u(n)
^^^ ^^^
x[n] u[u]
建議改成這樣
: 感覺是可以寫出來可是就卡住了...
: 我是直接先把cos拆成exponential表示
: 然後照DTFT的定義sum起來,然後因為後面有u(n)
: 就變成加總0~無限大
: 然後寫一寫就不知道怎麼整理下去...
: 還是不應該這樣寫要用什麼性質 麻煩高手解惑
n
以下考慮 x[n] = a *cos(kn)*u[n]
---
直接套定義:
DTFT{x[n]}
1 N n jkn -jkn -jwn
= ── lim Σ a *[ e + e ]*e
2 N→∞ n=0
1 1 - [a*exp(kj-wj)]^(N+1) 1 - [a*exp(-kj-wj)]^(N+1)
= ── lim { ──────────── + ──────────── }
2 N→∞ 1 - a*exp(kj-wj) 1 - a*exp(-kj-wj)
1 1 1
= ── { ──────── + ───────── }
2 1 - a*exp(kj-wj) 1 - a*exp(-kj-wj)
1 - a*cos(k)*exp(-wj)
= ────────────────────
1 - 2a*cos(k)*exp(-wj) + a^2*exp(-2wj)
(k-w)j (-k-w)j
only if max{│a*e │, │a*e │ } < 1 or │a│<1
----
若覺得上面的計算很醜
這裡再提供三個方法
<1>
jw n 1
考慮 F(e ) = DTFT{ a u[n] } = ─────── for │a│<1
1 - a*exp(-jw)
jw ∞
G(e ) = DTFT{ cos(kn) } = π Σ { δ(w-k+2πi) + δ(w+k+2πi) }
i=-∞
所以 DTFT{x[n]}
1 jw jw
= ──[ F(e ) convolution G(e )] with only one period
2π
1 1 1
= ── { ───────── + ───────── }
2 1 - a*exp[-j(w-k)] 1 - a*exp[-j(w+k)]
<2>
DTFT{x[n]}
1 jkn n 1 -jkn n
= ──DTFT{ e *a u[n] } + ──DTFT{ e *a u[n] }
2 2
1 n 1 n
= ──DTFT{ a u[n] }│ + ──DTFT{ a u[n] }│
2 w→w-k 2 w→w+k
1 1 1
= ── { ───────── + ───────── }
2 1 - a*exp[-j(w-k)] 1 - a*exp[-j(w+k)]
<3>
注意到 cos(kn) + cos[k(n-2)] = 2*cos[k(n-1)] *cos(k)
=> cos(kn) - 2*cos(k)*cos[k(n-1)] + cos[k(n-2)] = 0
2
不難推得 x[n] - 2a*cos(k)*x[n-1] + a x[n-2] = δ[n] - a*cos(k)*δ[n-1]
對上式取 Z-transform :
-1 2 -2 -1
( 1 - 2a*cos(k)*Z + a *Z ) X(Z) = 1 - a*cos(k)*Z
-1
1 - a*cos(k)*Z
=> X(Z) = ─────────────
-1 2 -2
1 - 2a*cos(k)*Z + a *Z
因此 DTFT{x[n]} = X(Z)│ jw
Z = e
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