Re: [分析] 一個等式

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: If h is conti on [0,1],then
:       1
: lim  ∫ h(x)sin(nx)dx=0
: n->∞ 0
: 這等式好像很有名?可以問一下證明的方法嗎? 感謝
記得以前讀微積分時，習題裡有這一題
修改一下證明，更廣泛的情形
令 g(x) 在 R 上任閉區間黎曼可積，G(x) 為其反導函數，且滿足
|g(x)| <= M1,  |G(x)| <= M2 on R
則 對 h is conti on [0,1],
       1
 lim  ∫ h(x)g(nx)dx=0
 n->∞ 0

證明：
因為 h(x) continuous on [0,1], 所以存在 M3 > 0 , 使得 |h(x)| <= M3
given epi > 0, 因為 h(x) 均勻連續 on [0,1], 所以 存在 delta
使得 當 |x-y| < delta 時, |f(x)-f(y)| < epi/2M1
choose k , 1/k < delta, choose N  = 4kM2 M3/epi
當 n > N
  |∫_{0 to 1}  h(x)g(nx) dx  |
= | Sum_{j=1 to k} ∫_{(j-1)/k to j/k} h(x)g(nx)dx |
<= | Sum_{j=1 to k} ∫_{(j-1)/k to j/k} h(j/k)g(nx)dx | +
   | Sum_{j=1 to k} ∫_{(j-1)/k to j/k} (h(x)-h(j/k))g(nx)dx |
上面第二項 小於 Sum_{j=1 to k} (epi/2M1) M1/k = epi/2
第一項  | Sum_{j=1 to k} ∫_{(j-1)/k to j/k} h(j/k)g(nx)dx |
      <= Sum_{j=1 to k} | h(j/k)| |∫_{(j-1)/k to j/k} g(nx)dx |
      = Sum_{j=1 to k} | h(j/k)| | -(G(nj/k) - G(n(j-1)/k))/n|
      <= 2k M2 M3/n
      < 2kM2 M3/N = epi/2
所以當  n > N 時
|∫_{0 to 1}  h(x)g(nx)dx  | < epi
所以 lim ∫_{0 to 1}  h(x)g(nx)dx = 0    as n -> infinity
也就是說這個東西成立，其實和 g 是否為周期函數其實無關
也不需要傅立葉級數的一些結果來證明

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◆ From: 220.137.132.154
推 jacky7987   :謝謝:)
※ 編輯: dogy007         來自: 220.137.132.154      (10/16 09:51)
→ dogy007     :其實這個證明方法，可以證明更一般的情形
→ dogy007     :不一定要 sinx, 只要 g(x) 及其反導函數在 R 上有界
※ 編輯: dogy007         來自: 220.132.177.99       (10/17 09:56)