推 jacky7987 :所以可以固定N就對了:) 感謝 10/15 23:27
推 jacky7987 :可是後面那堤的分母是變動項 這樣該怎麼做呢? 10/15 23:39
※ 編輯: empty24 來自: 140.122.166.140 (10/16 00:02)
推 jacky7987 :感謝講解 10/16 00:06
推 jacky7987 :原來我一開始搞錯epsilon的意思了XD 10/16 00:10
※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: Suppose a_n>0, s_n=a_1+...+a_n and suppose Σa_n diverges.
: Prove that
: a_n
: (1)Σ ----- diverges
: 1+a_n
: (這題可以用極限比較法嗎?)
用Cauchy判別法去做~
考慮ε=1. 對所有的自然數N，因為部分和s_n會趨近於無窮大
所以存在正整數m且m>N滿足s_m > 1+2s_N
a_N a_m a_N a_m
因此 ------ + ... + ------ > ------ + ... + ------
1+a_N 1+a_m 1+s_N 1+s_N
s_m-s_N
> --------- > 1
1+s_N
: a_n
: (2)Σ ----- diverges
: s_n
: 這個有提示
: a_{N+1} a_{N+k} s_N
: ------- +...+ ------- ≧ 1 - -------
: s_{N+1} s_{N+k} s_{N+k}
: 我以為這個提示可以用在Cauchy condition但我一直湊不出來(卡在分母)
考慮ε=1/2. 對任意自然數N，都可以找到正整數k(k>N)滿足
s_(N+k) > 2s_N
s_N 1
因此 1 - -------- > ---
s_(N+k) 2
你要說明級數是發散的 就是要否定Cauchy條件:
「對任意ε>0，存在正整數N(跟你選的ε有關)使得說:
若m≧n≧N，則有|a_n+...+a_m|≦ε。」
上面那句話如果不對，意思就是存在ε>0使得說 對每一個正整數N
你都有辦法找到在a_N之後的某項a_(N+k)會讓
|a_N+...+a_(N+k)|>ε
因此固定N之後你要想辦法去找k(跟選取的N有關)
因為這個論證對每個N都對 所以你就證完了
: 感謝大家
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