推 ding94xu04 :看到那個轉換就什麼都開了XD 10/17 08:03
→ ding94xu04 :謝謝大大^^~~~ 10/17 08:03
→ zi6ru04zpgji:不客氣~~~ 10/17 09:54
※ 編輯: zi6ru04zpgji 來自: 140.138.43.6 (10/18 13:08)
※ 引述《ding94xu04 (錯誤示範)》之銘言：
: 題目是這樣
: y"-8y'+2y=exp(-x)
: y(-1)=5 y'(-1)=2
: 求出initial value
: 我試著解過這題，但是一看到答案就吐血了...
: Ans.
: １ 4(x+1) １
: y= ─ e [(55-e)cosh(sqrt(14)(x+1)) + ─── (5e-198)sinh(sqrt(14)(x+1))]
: 11 sqrt(14)
: 1 -x
: + ── e
: 11
: 我自己算的跟著個差很多，由其實我不知道哪裡跑出來cosh & sinh....
: 誰可以叫我算這題....
^^
教
dy dy
let u=x+1 , du=dx ── = ── =D_u(微分運算子)
dx du
為了描述方便 暫且將D_u視做D
y"-8y'+2y=exp(-x) → (D^2-8D+2)y=exp(1-u)
(D-4+sqrt(14))(D-4-sqrt(14))y=exp(1-u)
齊性解y代入得 (D-4+sqrt(14))(D-4-sqrt(14))y=0, D=4±sqrt(14)
常解y=exp(4u)[Acosh(sqrt(14)u)+Bsinh(sqrt(14)u)]
=exp[4(x-1)][Acosh(sqrt(14)(x-1))+Bsinh(sqrt(14)(x-1))]
1
特解y_p = ────────────── exp(1-u)
(D-4+sqrt(14))(D-4-sqrt(14))
1 1
=exp(-x) ─────────────── = ── exp(-x)
(-1-4+sqrt(14))(-1-4-sqrt(14)) 11
1
通解y=exp[4(x-1)][Acosh(sqrt(14)(x-1))+Bsinh(sqrt(14)(x-1))] +─── exp(-x)
11
帶入初始條件 y(-1)=5, y'(-1)=2
說明
1. 本題使用運算子來解題
若是令y=exp(λx)代入求λ
也會得到相同結果
原PO看不懂解答的原因 在於這是用另一種表示方法
若解得λ=a±b 則常解y=c_1exp[(a+b)x]+c_2exp[(a-b)x]
y=exp(ax)[c_1exp(bx)+c_2exp(-bx)] 整理得
exp(bx)+exp(-bx) exp(bx)-exp(-bx)
=exp(ax)[A──────── + B─────────]
2 2
=exp(ax)[Acosh(bx)+Bsinh(bx)]
2. sinh(0)=0 cosh(0)=1
本題初始條件 x=-1
是故 答案型態為 y_h=exp[a(x-1)]【Asinh[b(x-1)]+Bcosh[b(x-1)]】
較易作答
所以 我先令u=x-1 du=dx代換 理由在此
計算出λ=4±sqrt(14) =a±b
3. 特解採逆運算子法
L(D)y_p=exp(-x)
1 1 1
y_p = ─── exp(-x)= ─── exp(-x) = ── exp(-x)
L(D) L(-1) 11
4. dsinh(x)=cosh(x)dx dcosh(x)=sinh(x)dx
再利用sinh(0)=0 cosh(0)=1的特性
代入初始條件即可求出A、B
以上 如有疑問 歡迎提出
如果有計算過程看不懂@@
回去學校再用相機拍照PO上來囉@@
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