推 jacky7987 :C^P的證明後來想想也只是因為隱微分也只是原函數的 10/19 00:53
→ jacky7987 :偏微分的組合而已 10/19 00:53
推 chy1010 :換課本這招不錯, 可以取各種課本的定理包絡線.... 10/19 00:59
→ chy1010 :取到各種定理最強的版本....!! 10/19 01:00
→ LimSinE :Good! 10/19 01:01
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: Prove the intersection of
: x^2+y^2+z^2 = 1 & x^3+y^3+z^3 = 0
: is a smooth (C^inf) curve
: -----------------------
: 這是清大100年高微的考古題
: 所以我就聯想到隱函數定理(因為幾何才學一點點= =)
: 可是隱函數定理是描述"在某一點如果符合什麼條件(函數值為零 微分rank多少之類的)"
: 則在那一點locally 能表達成隱函數且C^1
: 所以這題我要：
: 1.找出所有的解（intersection of x^2+y^2+z^2 = 1 & x^3+y^3+z^3 = 0）
: 2.證明所有的解都能使用隱函數定理
: 3.還需要證不只C^1 還要C^inf???
: 是這樣嗎??
: 請高手指教一下 謝謝~
Jacobian:
[2x 2y 2z ]
[3x^2 3y^2 3z^2]
利用minor
rank < 2
<=>
xy(x-y) = yz(y-z) = zx(z-x) = 0
易得和原方程式聯立無解。
這樣就好了。
為什麼呢？假設x0,y0,z0是一個解，那它必滿足原方程式
由以上討論知Jacobian在該點 rank = 2
故在那一點可以用隱函數定理。
至於隱函數定理只能證到C^1？沒這回事
可以考慮換一本課本參考，(ex.Marsden)
若先天函數是C^p，則得到的隱函數亦是C^p (p>=1)
C^inf 相當於所有的C^p，自然也可以用。
(如果還要更嚴格一點的話，找到一點(1/sqrt(2),-1/sqrt(2),0)
故它至少不是空集合，是真正的曲線)
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代數幾何觀點！
Algebro-Geometrical Aspect!
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