Re: [分析] Cardinality、Compact

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 因為都獲得大部分的結果所以找了這麼久之前的文章回XD
: 不過不保證對就是了(￣艸￣)
: : 1. Let A be the set of all functions from (0,1) to |R,and
: : B be the set of all continuous funtions from (0,1) to |R.
: : (a) Show that there is no 1-1 correspondence between |R and A.
: : That is,|R and A do not have the same cardinlity.
: The cardinal number of S={f|f:X-->Y is a function} is |Y^X|=|Y|^|X|
: Hence the cardinal number of A is c^c=2^c>c,where c is the cardinal number
: of |R.
: 雖然這樣好像有點倒過來證明
: 不過我想這是最快速的想法XDDD
其實這個問題的標準做法是
令 g(x) = (1 + x/(1+|x|) )/2
顯然 g 是由 R 到 (0,1) 的 bijection
令 h(x) 為 g 的反函數則 h 是由 (0,1) 到 R 的 bijection
假設 存在 1-1 correspondence between |R and A
也就是 F : R -> A,
定義 f(x) = F(h(x))(x) + 1
則對任意 y in R, g(y) in (0,1)
f(g(y)) = F(y)(g(y)) + 1 所以 f <>  F(y) 對任意 y
我們得到一個矛盾

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◆ From: 220.132.177.99
推 jacky7987   :感謝:)
推 jacky7987   :想請教一下這句 f(x) = F(h(x))(x) + 1
→ jacky7987   :沒事了XD
推 jacky7987   :真是個厲害的證明阿..
→ dogy007     :這種手法其實都源自對角線法
推 jacky7987   :恩...剛剛去看了2^c>c的證明也是有類似的味道