[線代] 反矩陣的定義

[rtyxn (ask)]

手邊的書(有3本)都用AB=BA=I來定義A的inverse

起初不是很在意AB=I會不會保證BA=I

但剛剛在導2階方陣A的inverse公式時，問題就來了

我只用AB=I就把A的inverse公式導出來了

這樣我還要證明BA=I才能讓公式合法

還是現在就可以說這個公式沒問題、可以用了?


不才的意思是能不能只用AB=I來定義A的inverse

，不說BA=I，因為只要AB=I，BA就等於I?            請賜教，謝謝!

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◆ From: 140.127.67.57
※ 編輯: rtyxn           來自: 140.127.67.57        (10/20 15:33)
→ rtyxn       :以上的A都是方陣
推 zombiea     :可以直接証矩陣的單側反元素即為雙側反元素
推 recorriendo :AB都是方陣且A是滿秩 纔會有AB=1即BA=1的結果
→ rtyxn       :to r*****:一定要用到rank嗎?
推 recorriendo :喔 我是說要方陣的意思
推 jacky7987   :A*B=I BA=A^{-1}*A*B*A=A^{-1}*A=I 這樣?
→ dogy007     :恩，只有方陣才會對，證明方法可以用 row operation
→ dogy007     :只有 AB=I 時，我們不曉得 A^(-1) 存在
→ dogy007     :所以 jacky 的證明是不可行的
→ ricestone   :可以假設C使CA=I，再用結合律在CAB=C上面
→ dogy007     :AB=I 可以推出 BA=I 是方陣的一個特殊性質
→ dogy007     :並非所有環都有這種性質
→ dogy007     :有些環中，元素可能只有右反元素而沒有左反元素
→ ricestone   :不過只要兩邊都存在反元素的話，結合律就可以用了
→ dogy007     :如果只是藉由一些元素的乘法，而沒用到矩陣的性質
→ dogy007     :是不可能證明這個結果的
→ ricestone   :所以為了證明兩邊都有反元素，用到的東西就跟rank差
→ ricestone   :不多
→ dogy007     :我們並不曉得 A 是否有左反元素
→ dogy007     :想到以前念代數時，曾經有一題習題，
→ dogy007     :做了很多年都沒做出來，一直到前兩年沒事翻以前的書
→ dogy007     :看到，忽然想出怎麼做，算一算已經差不多二十年了
推 iamokay     :謝謝大家的回答!!