作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
標題Re: [線代] 反矩陣的定義
時間Fri Oct 21 07:56:13 2011
既然ring都出來了，那我也來搗蛋一下好了
首先觀察：
R(R:commutative ring with 1)係數的方陣總有 AB=I→BA=I
<=> 對於module homomorphism f:R^n→R^n，若surjective，則injective。
[原因：
=> 設f的表示矩陣為A，surjective，故free basis e1,...,en都被打到
各任取一preimage b1,...,bn，排起來得到 B，則AB=I，由此得BA=I，從而f injective。
<= 以矩陣A定義f，由AB=I，知surjective，則f injective.
即 AX=AY→X=Y，今ABA=IA=AI，故BA=I。]
對於像體這麼好的ring，當然有很多性質可以用
不過我們可以只用到noetherian 這個性質。
特別的此時R^n 亦為noetherian module。
小習題：M: noetherian module，f:M→M，若f surjective，則injective。
[考慮ker f^a < ker f^(a+1)< ...必須停止，即有ker f^r = ker f^(r+1) = ...
設 x in ker f^r，則x=f^r(y), y in ker f^(2r)=ker f^r, 故 x=f^r(y)=0]
好了，證完了。
假設我們更貪心一點想丟掉討厭的noetherian 性質
也可以。
因為對於任兩方陣A、B，我們總可以將它視為
S=Z[A、B之元素] (為 R之subring)
的方陣
可是S是 noetherian！就莫名其妙的結束了。
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代數幾何觀點！
Algebro-Geometrical Aspect!
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推 yusd24 :最後那個很好用！但是講起來學生都覺得莫名其妙.. 10/21 08:10
推 TassTW :推這篇 ~ 不過我想原 po 應該不能理解... 10/21 10:16
推 keroro321 :推 10/21 10:54
推 hcsoso :真好, 推! 10/21 17:30
推 amozartea :我覺得正常人都看不懂這篇囧= = 10/23 00:16
→ amozartea :(正常人的定義：非數學系的...) 10/23 00:16